-1101 例6.求A=-430的特征值和特征向量。 (102 -211 例7.求A=020的特征值和特征向量。 (-413 补充定理 定理两两互异的特征值2，.，元对应的特征向量，卫线性无关。 提示：该定理可用数学归纳法证明。 第三节：相似矩阵 1.相似矩阵的概念和性质 定义设A,B是n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P,使得pP=B,则称矩阵B是矩阵A 的相似矩阵或称A相似于B,满秩矩阵P称为将A化成B的相似变换矩阵。 相似矩阵具有如下性质 (1) 自反性：方阵A相似于A: (2)对称性：如果A相似于B,则B相似于A: (3)如果A相似于B,B相似于C,则A相似于C。 定理如果A与B相似，则A与B具有相同的特征多项式，因而有相同的特征值 推论若n阶阵A与对角矩阵A=ag(元，.，元)相似，则元，n是A的特征值。 介绍利用相似矩阵计算方阵的幂的方法。见P117。 2.方阵A与对角阵相似的条件 3P-,PAP=A→AP=PA台4历，.，Pn)=(d,Pn)A=(ai,nP) 台，=，则2，是A的特征值，是A的与，相应的特征向量，且，P。 线性无关。如上推导表明： 定理4.7方阵A相似于对角阵A=diag(元，元n)的充分必要条件为：1，元n是A的n个特征 值，并且A有n个线性无关的特征向量。 补充结论 定理方阵A可以对角化口A有m个线性无关的特征向量。 推论若A的n个特征值互异，则A可对角化。 本章习题课 1.总结内容及方法 (1)矩阵的特征值与特征向量的求法 (2)相似矩阵的概念和性质 (3)阶矩阵的可对角化 2.例题分析 18 例 6． 求           − − = 1 0 2 4 3 0 1 1 0 A 的特征值和特征向量。 例 7． 求           − − = 4 1 3 0 2 0 2 1 1 A 的特征值和特征向量。 补充定理 定理 两两互异的特征值  n , , 1  对应的特征向量 p pn    , , 1 线性无关。 提示：该定理可用数学归纳法证明。 第三节：相似矩阵 1．相似矩阵的概念和性质 定义 设A，B是n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得 P AP = B −1 ，则称矩阵B是矩阵A 的相似矩阵或称A相似于B，满秩矩阵P称为将A化成B的相似变换矩阵。 相似矩阵具有如下性质 （1） 自反性：方阵A相似于A； （2） 对称性：如果A相似于B，则B相似于A； （3） 如果A相似于B，B相似于C，则 A相似于C。 定理 如果A与B相似，则A与B具有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。 推论 若 n 阶阵 A 与对角矩阵 ( , , )  = diag 1  n 相似，则  n , , 1  是 A 的特征值。 介绍利用相似矩阵计算方阵的幂的方法。见P117。 2．方阵 A 与对角阵相似的条件 , −1 P =   =   =  − ( , , ) ( , , ) 1 1 1 P AP AP P A p pn p pn       =( , , ) 1 p1 n pn       Api i pi   =  ，则 i 是 A 的特征值， pi  是 A 的与 i 相应的特征向量，且 p pn    , , 1 线性无关。如上推导表明： 定理 4.7 方阵 A 相似于对角阵 ( , , )  = diag 1  n 的充分必要条件为：  n , , 1  是 A 的 n 个特征 值，并且 A 有 n 个线性无关的特征向量。 补充结论： 定理 方 阵 A 可以对角化  A 有 n 个线性无关的特征向量。 推论 若 A 的 n 个特征值互异，则 A 可对角化。 本章习题课 1．总结内容及方法 （1） 矩阵的特征值与特征向量的求法 （2） 相似矩阵的概念和性质 （3） n阶矩阵的可对角化 2．例题分析