§5因式分解定理 、不可约多项式 Q (x-√2)x+√2)x2+2) on r (x-√2x+√2x-√2x+√2 定义8数域P上次数≥1的多项式p(x)称为域P上的不可约多项式 ( irreducible polynomical),如果它不能表成数域P上的两个次数比p(x)的次数低 的多项式的乘积 根据定义,一次多项式总是不可约多项式 一个多项式是否可约是依赖于系数域的 显然,不可约多项式p(x)的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍 cp(x)(c≠0)这两种,此外就没有了反过来,具有这个性质的次数≥1的多项式 定是不可约的由此可知,不可约多项式p(x)与任一多项式f(x)之间只可能有两 种关系,或者p(x)|f(x)或者(p(x),f(x)=1 定理5如果p(x)是不可约多项式,那么对于任意的两个多项式f(x),g(x), 由p(x)|f(x)g(x)一定推出p(x)|f(x)或者p(x)|g(x 推广:如果不可约多项式p(x)整除一些多项式f(x).f(x)…∫(x)的乘积 f1(x)2(x)…∫(x),那么p(x)一定整除这些多项式之中的一个 因式分解定理 因式分解及唯一性定理数域P上次数≥1的多项式f(x)都可以唯一地分解 成数域P上一些不可约多项式的乘积所谓唯一性是说,如果有两个分解式 f(x)=P1(x)P2(x)…P2(x)=q1(x)q2(x)…q1(x), 那么必有s=t,并且适当排列因式的次序后有 P1(x)=c;q(x),i=1,2,…,s 其中c(i=1,2,…,s)是一些非零常数§5 因式分解定理 一、不可约多项式 x x x i x i on C x x x on R x x x on Q ( 2)( 2)( 2 )( 2 ) ( 2)( 2)( 2) 4 ( 2)( 2) 2 4 2 2 = − + − + = − + + − = − + . 定义 8 数域 P 上次数  1 的多项式 p(x) 称为域 P 上的不可约多项式 (irreducible polynomical)，如果它不能表成数域 P 上的两个次数比 p(x) 的次数低 的多项式的乘积. 根据定义，一次多项式总是不可约多项式. 一个多项式是否可约是依赖于系数域的. 显然，不可约多项式 p(x) 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍 cp(x)(c  0) 这两种，此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数  1 的多项式一 定是不可约的.由此可知，不可约多项式 p(x) 与任一多项式 f (x) 之间只可能有两 种关系，或者 p(x) | f (x) 或者 ( p(x), f (x)) = 1. 定理 5 如果 p(x) 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式 f (x), g(x)， 由 p(x) | f (x)g(x) 一定推出 p(x) | f (x) 或者 p(x) | g(x) . 推广：如果不可约多项式 p(x) 整除一些多项式 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x  s 的乘积 ( ) ( ) ( ) 1 2 f x f x f x  s ，那么 p(x) 一定整除这些多项式之中的一个. 二、因式分解定理 因式分解及唯一性定理 数域 P 上次数  1 的多项式 f (x) 都可以唯一地分解 成数域 P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x p x p x p x q x q x q x =  s =  t , 那么必有 s = t ，并且适当排列因式的次序后有 p x c q x i s i i i ( ) = ( ) , =1, 2,  , . 其中 c (i 1,2 , ,s) i =  是一些非零常数