00==0+0/00-=2-0, 同理，0,0)=0 令1=上-L/0,0Ar+00ay.Axa AxA可 llAxl 婴++xA“+友 则当p→0时，1不存在极限，所以x)在点(0,0)处不可微. 注1若函数：=x,)在点（化，%）处的偏导数存在，则fx)在点（低，%）处可微的 等价定义是 g-+0. p 其中 =f+Ax,+A)-fp=VA2+Ay 通常可用验证上式是否成立来判断函数的可微性. 注2二元函数在一点的偏导数存在只是函数在该点可微的必要条件，这是二元函数与 一元函数的重要区别之一， 例15(02研)考虑二元函数x,)的下面4条性质： ①任，)在点（化，%）处连续：②x,)在点（优，为）处的两个偏导数连续： ③fx,)在点（伍，）处可微：④x,)在点(x%)处的两个偏导数存在。 若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q,则有() A②→③→① B③→②→① C③→④→0 D③→①→0 解选A,因为两个偏导数连续→可微→连续 注在可微的假定下，函数连续、偏导存在都是必要条件.若偏导数连续，则可保证可 微，它是可微的充分条件.二元函数可微、偏导数、方向导数、连续、极限各概念之间的关 系请参阅本章内容提要。 例16设：=+学，求会，导 解法1根据多元函数求导法则，直接求偏导数 会2告，心+rm4]-2立，学0 0 (0 ,0) (0,0) 0 0 (0,0) lim lim 0 x x x f x f f  →  → x x +  − −  = = =   ， 同理， (0,0) 0 y f  = ． 令 2 2 [ (0,0) (0,0) ] ( ) ( ) x y z f x f y x y I  x y  −  +      = =  +  ，因 2 2 2 2 2 2 0 0 lim lim ( ) ( ) (1 )( ) 1 y k x x x x y k x k x y k x k  =   →  →    = =  +  +  + ， 则当  →0 时， I 不存在极限，所以 f x y ( , ) 在点 (0,0) 处不可微． 注 1 若函数 z f x y = ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处的偏导数存在，则 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处可微的 等价定义是 0 0 0 0 0 [ ( , ) ( , ) ] lim 0 x y z f x y x f x y y →   −  +    = ， 其中 2 2 0 0 0 0  = +  +  − =  +  z f x x y y f x y x y ( , ) ( , ), ． 通常可用验证上式是否成立来判断函数的可微性． 注 2 二元函数在一点的偏导数存在只是函数在该点可微的必要条件，这是二元函数与 一元函数的重要区别之一． 例 15（02 研）考虑二元函数 f x y ( , ) 的下面 4 条性质： ① f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处连续； ② f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处的两个偏导数连续； ③ f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处可微； ④ f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处的两个偏导数存在． 若用“ P Q  ”表示可由性质 P 推出性质 Q ，则有（ ） A ②  ③  ① B ③  ②  ① C ③  ④  ① D ③  ①  ④ 解 选 A．因为两个偏导数连续  可微  连续． 注 在可微的假定下，函数连续、偏导存在都是必要条件．若偏导数连续，则可保证可 微，它是可微的充分条件．二元函数可微、偏导数、方向导数、连续、极限各概念之间的关 系请参阅本章内容提要． 例 16 设 2 2 2 2 ( ) x y xy z x y e + = + ，求 z x   ， z y   ． 解法 1 根据多元函数求导法则，直接求偏导数 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 3 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) x y x y x y xy xy xy z x xy x y y x y x y xe x y e e x x y x y + + +  − +  − +   = + + =     