类似地可求广-+2兴 解法2利用全微分形式的不变性，求出全微分后可同时得到两个偏导数.因为 等e3e等） :x号ah+4+e号+）-+型 ( =e(2位k+42n x'y 微会立，房如兰 x'y 注利用全微分形式不变性求多元复合函数的偏导数的方法不但在许多场合显得简捷 方便，更重要的是在这个过程中不必区分自变量与中间变量，因而不易出错. 例7设：=个y其中了有=路偏号数，求器 解令=护，=士，则：=u),可知∫的函数复合关系图如下 f,r 由链式求导法则可得 会影装盘2r 需-引-5小-4或+2w0-n 注意到，仍是以，v为中间变量的复合函数，其函数复合关系图与∫的函数复合关系图 类似，故 U0=0+/r8=2x+, 号0=号+等=2m+, 所以 *2wr+小宁r-xx+ 类似地可求 2 2 4 4 3 2 2 x y xy z y x xy e y xy +  − + =  ． 解法 2 利用全微分形式的不变性，求出全微分后可同时得到两个偏导数．因为 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x y x y xy xy dz e d x y x y d e + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 2 ) ( ) x y x y xy xy x y e xdx ydy x y e d xy + +   + = + + +      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) x y x y xy xy xyd x y x y d xy e xdx ydy x y e xy + + + − + = + + +  2 2 4 4 3 4 4 3 2 2 2 2 x y xy x y x y y x xy e dx dy x y xy +   − + − + = +     ， 所以 2 2 4 4 3 2 2 x y xy z x y x y e x x y +  − + =  ， 2 2 4 4 3 2 2 x y xy z y x xy e y xy +  − + =  ． 注 利用全微分形式不变性求多元复合函数的偏导数的方法不但在许多场合显得简捷 方便，更重要的是在这个过程中不必区分自变量与中间变量，因而不易出错． 例 17 设 2 2 , y z f x y x   =     ，其中 f 有二阶偏导数，求 2 z x y    ． 解 令 2 2 u x y = ， y v x = ，则 z f u v = ( , ) ，可知 f 的函数复合关系图如下 由链式求导法则可得 2 2 2 u v z f u f v y xy f f x u x v x x      = + = −       ， 2 2 2 2 2 2 1 2 4 2 ( ) ( ) u v u u v v z y y xy f f xyf xy f f f x y y x y x x y       = − = + − −                ． 注意到 , u v f f   仍是以 uv, 为中间变量的复合函数，其函数复合关系图与 f 的函数复合关系图 类似，故 2 1 ( ) 2 u uu uv uu uv u v f f f x yf f y y y x         = + = +    ， 2 1 ( ) 2 v vu vv vu vv u v f f f x yf f y y y x         = + = +    ， 所以 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 2 2 2 u uu uv v vu vv z y xyf xy x yf f f x yf f x y x x x x      = + + − − +                 f u v x y , u v f f   u v x y