第2期 火榈：三阶常系数非齐次线性微分方程的通解 199. 故根据(10)式，可知(11)式正确， (2)当r,≠2=3=r时，方程(9)有特解 oe"ddx dx je…[eds]r 在上式中，再对 wTroaJa 进行分部积分，便可知(12)式成立， (3)当7，=2=r=r时，将n=3代入(3)式，即得(13)式.（定理2证毕） 应当说明：当引用形如(6)式的记号时，同样可以较为简洁地表述公式(10)~(13)， 例1解方程y"+4y'=s6c2x(0<x<π/4) 解2+4r=r(+4)=0,n=0,r23=±2i 由公式(11)，得该方程通解为 y=c+c cos 2x+csin 2x+ In(+-2xow2x +in2xlow2x 例2解方程y-3y+3y-y= 解r3-3r2+3r-1=(r-1)3=0,r=r2=r=1 由公式(13)，可得通解 =6*ooe+[y号es-2号e+jeg时e =G+ax+6xe+[-2+e -S+ex+gx2+艺a-子)e(x0, 参考文献 1吴亚敏.谈常系数非齐次线性微分方程的求解，教材通讯，1992，（们）：17第 2 期 哭棺 : 三 阶常 系数非 齐次 线 性微分 方程 的 通 解 1卯 一 [ (一 ) oc s ,二 , S in , · 」孙 )一 in “ · d · 故根 据 ( 10) 式 , 可 知 ( 1 1) 式 正确 . ( 2) 当 r l 笋几 二 几 = ; 时 , 方程 ( 9) 有特 解 /一介 仓一 〔; 饭 (夕 (x )一 d · , d · 」 d · 一{ 。 (一 [ · 夕 x( )一丁 xf x( ,一] d · C 『 l x r 一 r l 在上式 中 , 再 对 一 { · ` 『一 r ” ’ 介 { · ` r 一 [ · 少 (x )一介 , 。 )一] 〔孙 )一 d · 」 d · } (一〔少 x( )一」 d · 进行 分部积分 , 便可知 ( 12) 式成 立 . ( 3) 当 r l 二 几= 几= r 时 , 将 n ” 3 代人 ( 3) 式 , 即得 ( 13) 式 . ( 定理 2 证毕 ) 应 当说明 : 当引用形 如 ( 6) 式 的记号 时 , 同样 可 以 较 为简 洁地表 述公式 ( 10 ) 一 ( 13) 例 1 解方程 y , + 匆 ’ 二 sce 欢 ( O < x < 7r/ 4) 解 尸+ 4r = r份+ 4 ) = o , r l = o , r ; 。 = 士 2 1 由公式 ( 1 1 ) , 得该方 程通解 为 夕一 。 0 5 2二 。 s in Z二 音卜 ( S ceZ 二龟 2 · 卜 2一 2一 ` · 2 · in co S Z · 」 例 2 解 方程 y一 3y ’+, y3 ` 一 , 一 专 解 尸一 3 r , + 3 : 一 l = ( r 一 l ) ’ = 0 , r l = 几 = 八 = 由公式 ( 13 ) , 可得 通解 一! , !一IL l esesL 一一2l1 夕= c( , + 几 x + 3C x Z ) e ` + = c( , + 几 x + c3 犷 )己 + 一 {子 · · 一{ 二 髻 护 ’川` , 一 Z +xz 合于 . 厂 。 e 支 一 a x 十 ! x - . J 一x d x 3 、 〕 _ c l十 c声 十 马 x 一 十 一不一 Lm }州 一 二万 、 少 } e 一 t x 笋 U少 “ 」 参 考 文 献 吴亚敏 . 谈常系 数非 齐次线性微分方程 的求解 . 教 材通讯 , 19 2 , (3) : 17