…198 北京科技大学学报 第16卷 +frex-小oea] (12) (3)如果1=2=1，=”，则方程(1)的通解为 y-(toxe)eedx 2e+小e/ea]小em (13) 其中c(i=1,2,3)为任意常数. 证明：根据线性微分方程解的结构定理，只需推证：按特征根的不同情形，方程(9)分 别具有通解式(10)~(13)中所指出的特解即可. (1)当T23两两互不相等时，由(2)式进行分部积分，得方程(9)的特解 aj e(n-nx. edx-fedxdx 注意到 1 1 3-2 -5--)G-)’ (I0)式得证；特别地，当23等于x士邛时，由于 (-2)(m-r)=(a-r)2+B2 弋 万rera+-o-f 1 【a-+81·2eaw/)e-tdx 1 1 [a-r)-i](-2$m e(fx)e(dx (csx+isin))(cosx-sinpz)dx B+(a-n)i +B-(a-n)i -28B+a-7e“(-isi血Bx) f(x)e **(cosBx+isinBx)dx a-r)singx-BonBs19 8 北 京 科 技 大 学 学 报 第 16 卷 r 一 r ] 一 卜少 (x )一 d一 丁 · , x( ,一 d · 」 ( 12) ( 3) 如果 r l二 几 = 几“ r , 则方 程 ( l) 的通解 为 , 一 `一 q二 乌分 , · … 合卜于 ( x) 一 d · 一 2 · 介xf( )一 d二介 , x( )一 d · } … ( 13 ) 其 中 q i( 二 1 , 2 , 3) 为任意 常 数 . 证 明 : 根据线 性微分方 程解 的 结构定 理 , 只需 推证 : 按 特 征 根 的不 同情 形 , 方 程 ( 9) 分 别具有 通解 式 ( 10) 一 ( 13) 中所指 出 的特解 即可 . ( l) 当 lr 、 几 、 3r 两 两互 不相 等时 , 由 ( 2) 式进行 分部积 分 , 得方程 ( 9) 的特解 y * 一 e 『 , 一[介 (一 (少 (x )一) d · 」 d · e 〔 、 一 动 二 六 e[ (一lf(x ) 一介 (x ,一xl d · 了月J 月 上丁 几 一 几 r 3一 r Z 一 [丁一 (孙 ,一) d一丁一(孙 )一) d · · 『 ·1 」 [告 (一少 ( · ) 一少 。 )一) 告 (一介 x( ) 。 一`一卜 )一 d · )」 注意到 - 卫一 _ _ r l一 几 ( 10 )式 得证 ; 特 别地 , 3r 一 几 lr 一 几 (r l 一 幼 (r l 一 心 ’ 当 几 、 r 3 等于二 士 iP 时 , 由于 ( r l 一 几) ( r , 一 几) = 恤一 r . ) ’ + 刀 ’ , (rz 一 lr ) (几 一 s)r l …介 (x ,一 ’ d二 a(r 一 lr ) a(r 一 动 。 r 3· xf(j ,一 ` d · ) e ( 一 “ + ` 刀) ` dx 如和 e ( 区 + .口 ) 二 [恤一 r】 ) + 谓』 · 2刀i x( ) e 一 ( “ + 谓 ) ’ d x é 十 一 — 上一一一 【恤一 r l )一 i刀』(一 2刀i) 口+ 恤一 r l ) i 一 2刀【刀 , + ( : 一 r l ) ’ 』 e “ x ( co s 月 x + i s in P x ) ( co s吞 x 一 台in 刀 x ) d x 口一 ( : 一 r l ) i 一 2刀[刀 , + ( : 一 r l ) ’ ] (co s 十` S in “ · ,卜 )一 “一 in ” · )孙 ) e 一 “ 尤 ( co s刀 x + 台i n脚 ) d x C “ x 刀【 : 一 r l ) ’ + 刀 ’ 1 {〔 (一 ) S in ,一 , co s “ · 」介 ,一 “ · d ·