第2期 吴植：三阶常系数非齐次线性微分方程的通解 197 fxryos-[r-y0ea] (6) 则特解(4)可改写为比较简洁的形式 产a[-d- (7) 事实上，由二项式定理，可知 2(-rCx1-2Cx(-1=(x-1 从而 fo-eod 1 文献[1]按二阶常系数非齐次线性微分方程 y"+py'+qy=f(x) (8) 对应的齐次方程的特征方程的特征根的不同情形，给出了方程（⑧）的通解具体形式·.这 里，我们将就三阶常系数非齐次线性方程 y"+py"+pay'+pay=f(x) (9) 进行讨论，所得结果可表述为： 定理2设方程(9)对应齐次方程的特征方程的特征根为、乃（化重根按k个根计）. (1)如果公两两互不相等，则方程(9)的通解为 y-4ce+--网eed+-n-eewax 1 )edx 1 (10) 特别地，当r2.,=a士B(a.B∈R)时，则(9)式的通解为 ycte"ccosi))endx (sin Bx-ponB)r)eodx -e-ousx+nB刘f树emxd]} (11) (2)如果≠2=1=r,则方程(1)的通解为 6e+可[jroe-eoea时第 2 期 昊植 : 三 阶常系数非 齐次线性微分方程 的通解 { 一, x( )一 `一〔丁 亡`一 , (。一` ! 」 : 一二 ( 6 ) 则 特解 (4) 可 改写 为 比较简洁的形 式 , · 认清万 〔x(J 一 。一 , ( r )` ! 」 !一 ( 7 ) 事 实上 , 由二项式 定理 . 可知 从而 艺( 一 l) `一 ’ C 二}护 一 ` , `一 ’ = 艺C 洲护 一` (一 )t ` 一 ’ = x( 一 )nt 一 ’ , · 认篇下 睿 (一 ` , 卜 I C ; 、一 〔{ ! 卜 了。 )一 d亡 」 `一 二 一 尚〔丁信 (一 ) 卜 1 · : : 、一) f ( t ,一」 ! 一 一 尚 [x([ 一 。一 了`。 d 艺 ] ,一 文献 t l] 按二 阶 常系数 非 齐次线 性微分 方 程 ’r + 刃 ’ 十 qy 二 f(x ) 对应 的 齐次方 程 的 特 征方 程 的 特 征根 的 不 同 情形 , 给 出 了方 程 里 , 我们将就三 阶常 系数非 齐次线 性方 程 夕, + 尹1夕 ” + 乃夕 ` + 乃 夕= f ( x ) 进行讨论 , 所得 结果 可表 述为 : 定 理 2 设方程 ( 9) 对应 齐次方程 的特 征方程 的 特征根 为 ; l 、 ( l) 如 果 lr 、 几 、 r 3 两 两互不 相等 , 则方程 ( 9) 的通解 为 ( 8 ) ( 8) 的 通 解 具体形 式 . 这 ( 9 ) 几 、 r 3 (k 重 根按 k 个根 计) . y 一 艺c , e 叭· + (r 一 r办(r ,一 sr) 一少 x( ,一 d二 l (rz 一 lr ) (rz 一 几 ) 一 少 x( ,一 ` d · + 砰下六而 当 r Z , 。 = : 士 i口( : 、 一少 ( · ,一 d · ( 10 ) 特别地 , 口分 R) 时 , 则 ( 9) 式 的通解 为 y = c l e 『,’ + e ” ( cZ co s 口 x + c3 s i n 口 x ) + ( “ 一 r l ) ’ + 刀 ’ { 砂 · 如一 ’ d ` · 爷[ ( 。 一) S。 ,一。 co s。 · )少 x( ,一 “ · d · 一 、 (一 ; l ) co s 。二你。 。 · ) · 丁 x( )一 in , · ` · 」} ( 1 1 ) ( 2) 如果 r l笋几 = ` = r , 则方 程 (l ) 的通解 为 , 一 。 l e ·: · 十 (。 + 。 二 ) 。 。 七毕卞 「 。 r、 · 份 ( x ) 。 一 d 二 一 e 二 份 x( ) 。 一 d 二 ) 扩 一 r l ) L J J 」