定理24n阶方阵A可逆的充分必要条件是A 为非奇异矩阵,并且有A=A 证明必要性设A可逆,则有 AA-=AA=IAA-=AA 所以,A|≠0,即A为非奇异的 充分性设4为非奇异的,则|A|≠0,于是有 A4=AA=4, 则得A(A)=(4)A= 由逆矩阵的定义知,A可逆,且41 A定理 2.4 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A 为非奇异矩阵，并且有 . 证明 必要性 设A可逆，则有 所以,︱A︱≠0 ,即A为非奇异的. 充分性 设A为非奇异的，则︱A︱≠0, 于是有 则得 由逆矩阵的定义知，A可逆，且 A A A 1 1 ~ = − 1 1 1 1 1 = = = = = − − − − AA A A I, A A AA I AA = AA = AI, ~ ~ A)A I A A A A = = ~ 1 ~ ) ( 1 ( . ~ A A A 1 1 = −