§183自伴算符的本征值问题 第12页 则称L是自伴算符 例6在和例4完全相同的条件下,算符就是自伴算符 “(=)=-ew=( 算符的自伴性,总是和一定的函数空间联系在一起的.通常,我们总是要求 函数定义在给定的区间上, ·函数具有足够的连续性(例如,对于二阶微分算符,就要求函数的-阶导数连 续,至少分段连续;如果是无界区间,则要求函数平方可积), 因此,实际上总是限于 Hilbert空间.并且,还要求 ·函数满足一定的边界条件,即总是局限在 Hilbert空间中的一定子空间内 绝不能脱离边界条件的约束来讨论算符的自伴性 个算符,相对于某一类函数是自伴的,但对于另一类函数,就可能不是自伴 的 例7设L=ia,而将边界条件取成更一股的形式 v(b)=ay(a),a为(复)常数 于是 dr =iu dr u dz du =i(aa"-1)u(a)v"(a)+ 所以只有边界条件中的满足aa·=1时,算符过才是自伴的 定义7设L为自伴算符,则方程 Ly(r)=Ay(a) 称为自伴算符的本征值问题 这里没有明确写出齐次边界条件,是因为它已经隐含在自伴算符L的定义中了 自伴算符的本征值问题具有下列几个重要的基本性质 ★性质1自伴算符的本征值必然存在.(不证) ★性质2自伴算符的本征值必为实数 证因为 L§18.3 gŠŽÎŠ¯K 1 12  K¡L´gŠŽÎ© ~6 3Ú~4ƒÓ^‡e§ŽÎi d dx Ò´gŠŽÎ© Z b a v ∗ µ i du dx ¶ dx = −i Z b a dv ∗ dx udx = Z b a µ i dv dx ¶∗ udx. ŽÎgŠ5§o´Ú½¼êméX3å©Ï~§·‚o´‡¦ • ¼ê½Â3‰½«mþ§ • ¼êäkv ëY5(~X§éu‡©ŽÎ§Ò‡¦¼êêë Y§©ãëY¶XJ´Ã.«m§K‡¦¼ê²ŒÈ)§ Ïd§¢Sþo´uHilbertm©¿…§„‡¦ • ¼ê÷v½>.^‡§=o´Û3Hilbertm¥½fmS© ýØUøl>.^‡å5?؎ÎgŠ5© ‡ŽÎ§ƒéu,a¼ê´gŠ§éu,a¼ê§ÒŒUØ´gŠ © ~7 L = i d dx § ò>.^‡¤„/ª y(b) = αy(a), α(E)~ê. u´ Z b a v ∗ i du dx dx = iv ∗ u ¯ ¯ ¯ b a − i Z b a dv ∗ dx u dx = i(αα ∗ − 1)u(a)v ∗ (a) + Z b a µ i dv dx ¶∗ u dx. ¤±k>.^‡¥α÷vαα∗ = 1ž§ŽÎi d dx â´gŠ© ½Â7 LgŠŽÎ§K§ Ly(x) = λy(x) ¡gŠŽÎŠ¯K© ùpvk²(Ñàg>.^‡§´Ï§®²Û¹3gŠŽÎL ½Â¥ © gŠŽÎŠ¯KäkeA‡­‡Ä5Ÿµ F 5Ÿ1 gŠŽÎŠ7,3©(Øy) F 5Ÿ2 gŠŽÎŠ7¢ê© y Ϗ Ly = λy,