§183自伴算符的本征值问题 第11页 §18.3自伴算符的本征值问题 定义5设L和M为定义在一定函数空间内的(微分)算符,若对于该函数空间内的任意两 个函数u和v,恒有 (U, Lu)=(Mu, u)Ep/v'Ludr=/(Mu)udr, 则称M是L的伴算符 例4若L=dx是 广u=o-广 所以,当u和v都满足边界条件 y(a)=y(b) 时,d的伴算符是-a 定义5中的算符M和L是互为伴算符,因为如果M是L的伴算符,则对于任意函 v'Mud=/(Mu)udr u"Ludr=/(Lu)*udr 所以,L也是M的伴算符. 例5设L 容易证明 dr gdx=v'u-(u")u+ 所以,当函数u和都满足一、二、三类边界条件 a1y(a)+ay(a)=0,a2y(b)+B2y(b)=0 (其中|a12+112≠0,1a22+1B22≠0)或周期条件 y(a)=y(b, y(a)=y(b) 时,d2的伴算符就是它自身 定义6若算符L的伴算符就是它自身,即对于该函数空间内的任意两个函数u和v,恒有 U Luda (Lu)"udr§18.3 gŠŽÎŠ¯K 1 11  §18.3 gŠŽÎŠ¯K ½Â5 LÚM½Â3½¼êmS(‡©)ŽÎ§eéuT¼êmS?¿ü ‡¼êuÚv§ðk (v, Lu) = (Mv, u) = Z b a v ∗Ludx = Z b a (Mv) ∗ udx, K¡M´LŠŽÎ© ~4 eL = d dx §u´ Z b a v ∗ du dx dx = v ∗ u ¯ ¯ ¯ b a − Z b a dv ∗ dx udx. ¤±§uÚvÑ÷v>.^‡ y(a) = y(b) ž§ d dx ŠŽÎ´− d dx © ½Â5¥ŽÎMÚL´pŠŽÎ§ÏXJM´LŠŽÎ§Kéu?¿¼ êuÚv§k Z b a v ∗Mudx = ·Z b a (Mu) ∗ vdx ¸∗ = ·Z b a u ∗Lvdx ¸∗ = Z b a (Lv) ∗ udx, ¤±§L´MŠŽÎ© ~5 L = d 2 dx2 §N´y² Z b a v ∗ d 2u dx2 dx = h v ∗ u 0 − (v ∗ ) 0 u ib a + Z b a ³ d 2 v dx2 ´∗ udx. ¤±§¼êuÚvÑ÷v!!na>.^‡ α1y(a) + β1y 0 (a) = 0, α2y(b) + β2y 0 (b) = 0 (Ù¥ |α1| 2 + |β1| 2 6= 0, |α2| 2 + |β2| 2 6= 0) ½±Ï^‡ y(a) = y(b), y 0 (a) = y 0 (b) ž§ d 2 dx2 ŠŽÎÒ´§g© ½Â6 eŽÎLŠŽÎÒ´§g§=éuT¼êmS?¿ü‡¼êuÚv§ðk (v, Lu) = (Lv, u) = Z b a v ∗Ludx = Z b a (Lv) ∗ udx,