§182函数空间 第10页 ★这个结果对于(取定函数空间中的)任意函数f(x)均成立,故 f(x)f(x)=6(x-x) ★在此基础上,又可以得到 (f,9)=∑(f,f)(f1,9) 把函数集{f,讠=1,2,…}的条件放宽,假设它是正交归一的,但不一定完备,仍然试图 用这个函数集的线性组合∑a;f(x)来逼近f(x).现在的问题是:如何选择组合系数a(与n无 关),可以得到最佳逼近,使误差 e->a||u)-Sod 取极小?仿照 Parseval方程的证明,可以求得 Ilr(c)-Ea:f(el ,n)-∑ah,-∑a(,f)+∑|2 (f,f) e+∑aa ,f+∑吗-c|2-∑cc 因此,当a1=c≡(f1,∫)时,误差一定取极小值, (,f)-∑|e2 而且,随着项数n的增加,误差越来越小.但无论如何,总有 (,n≥∑a|2 这正好是函数空间中的 Bessel不等式.等号对应于函数集是完备的情形 函数空间的完备性概念.如果由空间内的函数组成的 cauchy序列的极限仍保持在 该空间内,则称该空间为完备的 平方可积函数构成的空间是完备的 通常,把完备的内积空间称为 Hilbert空间.这个概念,在物理学中有广泛的应 用.下面的讨论,实际上都是在 Hilbert空间的范围内进行的§18.2 ¼êm 1 10  F ù‡(Jéu(½¼êm¥)?¿¼êf(x)þ¤á§ X∞ i=1 fi(x)f ∗ i (x 0 ) = δ(x − x 0 ). F 3dÄ:þ§qŒ± (f, g) = X∞ i=1 (f, fi)(fi, g). r¼ê8{fi, i = 1, 2, · · · }^‡°§b§´8§Ø½§E,Áã ^ù‡¼ê8‚5|Ü P∞ i=1 aifi(x)5%Cf(x)©y3¯K´µXÛÀJ|ÜXêai (†nà ')§Œ±Z%C§¦Ø ° ° °f(x) − Xn i=1 aifi(x) ° ° ° 2 ≡ Z b a ¯ ¯ ¯f(x) − Xn i=1 aifi(x) ¯ ¯ ¯ 2 dx 4º•ìParseval§y²§Œ±¦ Z b a ¯ ¯ ¯f(x) − Xn i=1 aifi(x) ¯ ¯ ¯ 2 dx = (f, f) − Xn i=1 a ∗ i (fi, f) − Xn i=1 ai(f, fi) +Xn i=1 ¯ ¯ai ¯ ¯ 2 = (f, f) − Xn i=1 a ∗ i ci − Xn i=1 aic ∗ i + Xn i=1 a ∗ i ai = (f, f) +Xn i=1 ¯ ¯ai − ci ¯ ¯ 2 − Xn i=1 c ∗ i ci, Ïd§ai = ci ≡ (fi, f)ž§Ø½4Š§ (f, f) − Xn i=1 ¯ ¯ci ¯ ¯ 2 ≥ 0, …§‘X‘ênO\§Ø5©ÃØXÛ§ok (f, f) ≥ X∞ i=1 ¯ ¯ci ¯ ¯ 2 . ùд¼êm¥Besselت©ÒéAu¼ê8´œ/© ¼êm5Vg©XJdmS¼ê|¤CauchyS4E±3 TmS§K¡Tm© ²ŒÈ¼ê¤m´© Ï~§rSÈm¡Hilbertm©ù‡Vg§3ÔnÆ¥k2A ^©e¡?ا¢SþÑ´3Hilbertm‰ŒS?1©