§182函数空间 第9页 正交归一函数集的完备性概念总是和任意函数是否可以按该函数集展开相联系 ★第一,一般说来,这个函数集应该含有无穷多个函数,否则(式不可能对任意f(x)均成 立.这一事实告诉我们,函数空间是无穷维的矢量空间. ★第二,(式应该对区间[a,b内的每一点x都成立,或者说,对于区间[a,b内的每 点x,级数∑caf(x)都应该收敛于∫(x).这种收敛性称为逐点收敛 ★为了和广义零函数的概念相适应,也可以把(式理解为左右两端相差一个广义的零函 数,换句话说,把级数∑cf(x)理解为平均收敛于∫(x),即 =/|a)-2a dx=0. ★第三,由函数集{f1,i=1,2,…}的正交归一性,可求得 fi(e)f(er)dr=(i, f) ★第四,容易证明 (a)-∑=f(o)dx (,)-∑(,)-∑c(,1)+∑|l|2 i=1 =(f,f)-∑|2, 因此,只要函数集{f,i=1,2,…}是完备的,那么,根据(#)式,就有 ,)=∑2=∑|(f,f 这就是函数集{f,i=1,2,…}的完备性关系,亦称 Parseval方程 函数集{f,i=1,2,…}的完备性的另一种表达形式,将()式代入()式,就有 f(r) ∫(x)f(x)f(x)dr i=1 f(x)∑f(x)(x)dr§18.2 ¼êm 1 9  8¼ê85Vgo´Ú?¿¼ê´ÄŒ±UT¼ê8ÐmƒéX © F 1§„`5§ù‡¼ê8AT¹káõ‡¼ê§ÄK(z) ªØŒUé?¿f(x)þ¤ á©ù¯¢wŠ·‚§¼êm´Ã¡‘¥þm© F 1§(z)ªATé«m[a, b]Sz:xѤ᧽ö`§éu«m[a, b]Sz :x§?ê P∞ i=1 cifi(x) ÑATÂñuf(x)©ù«Âñ5¡Å:Âñ© F  Ú2Â"¼êVgƒ·A§Œ±r(z)ªn)†müàƒ‡2Â"¼ ꧆é{`§r?ê P∞ i=1 cifi(x)n)²þÂñuf(x)§= limn→∞ Z b a ¯ ¯ ¯f(x) − Xn i=1 cifi(x) ¯ ¯ ¯ 2 dx = 0. (#) F 1n§d¼ê8{fi, i = 1, 2, · · · }85§Œ¦ ci = Z b a f ∗ i (x)f(x)dx = (fi, f). (~) F 1o§N´y² Z b a ¯ ¯ ¯f(x) − Xn i=1 cifi(x) ¯ ¯ ¯ 2 dx = (f, f) − Xn i=1 c ∗ i (fi, f) − Xn i=1 ci(f, fi) +Xn i=1 ¯ ¯ci ¯ ¯ 2 = (f, f) − Xn i=1 ¯ ¯ci ¯ ¯ 2 , Ïd§‡¼ê8{fi, i = 1, 2, · · · }´§@o§Šâ(#)ª§Òk (f, f) = X∞ i=1 ¯ ¯cn ¯ ¯ 2 = X∞ i=1 ¯ ¯(fi, f) ¯ ¯ 2 . ùÒ´¼ê8{fi, i = 1, 2, · · · }5'X§½¡Parseval§© ¼ê8{fi, i = 1, 2, · · · }5,«Lˆ/ª©ò(~)ª\(z)ª§Òk f(x) = X∞ i=1 Z b a f(x 0 )fi(x)f ∗ i (x 0 )dx 0 = Z b a f(x 0 ) "X∞ i=1 fi(x)f ∗ i (x 0 ) # dx 0 .