§182函数空间 第8页 ★问题是:在这样的内积定义下,如果(f,f)=0,f(x)并不见得在整个区间上处处为0 事实是,∫(x)可以在有限个点上不为0,但这些不为0的函数值并不会影响积分值,所以 仍可以有(f,f)=0 ★准确地说,如果(f,∫)=0,则f(x)可以在测度为零的点集上取非零值.所以只能 说(f,∫)=0隐含着∫(x)几乎处处为0 ★如果采用广义的零函数的概念,把任何几乎处处为0的函数称为零函数,那么,这里定义 的内积也就符合内积公理中的第3条要求 这样,定义4给出的函数内积的定义的确符合内积公理的要求 函数内积的定义还可以进一步推广为 (1, f2)=/fi(a)f2(=)p(a)da, 其中p(x)≥0且≠0.这样,有关公式均需要作相应的修改.特别是,关于函数 平方可积的要求也应该修改为要求积分 f(a) p(a)dr 存在 在定义了函数的内积之后,就可以定义函数的正交性与归一性,并建立函数的正交归一集 合的概念 若函数f(x)和g(x)满足 ( g)=/f(a)g(a)dr=0, 则称它们是(在区间a,b上)正交的.若函数f(x)和它自身的内积 0n=/)/=1,亦即= 则称f(x)是归一化的.而若对于函数集合{f},恒有 (i, f,)=/f(a)f,(a)dr =dij 则称此函数集合是正交归一的 例3函数集合{en/√2,n=0,±1,±2,…}在区间[一x,可上是正交归一的 正交归一函数集的完备性概念,如果对于(函数空间中的)任意函数f(x),总可以表示成正 交归一函数集{f,i=1,2,……}的线性组合 f(x)=∑cif(x) (k) i=1 则称正交归一函数集{f,讠=1,2,…}是完备的§18.2 ¼êm 1 8  F ¯K´µ3ùSȽÂe§XJ(f, f) = 0§f(x)¿Ø„3‡«mþ??0© ¯¢´§f(x)Œ±3k‡:þ؏0§ù ؏0¼êŠ¿Ø¬KÈ©Š§¤± EŒ±k(f, f) = 0© F O(/`§XJ(f, f) = 0§Kf(x)Œ±3ÿݏ":8þš"Š©¤±U `(f, f) = 0Û¹Xf(x)A??0© F XJæ^2Â"¼êVg§r?ÛA??0¼ê¡"¼ê§@o§ùp½Â SȏÒÎÜSÈún¥13^‡¦© ù§½Â4‰Ñ¼êSȽÂ(ÎÜSÈún‡¦© ¼êSȽ„Œ±?Úí2 (f1, f2) = Z b a f ∗ 1 (x) f2(x) ρ(x) dx, Ù¥ρ(x) ≥ 0 … 6≡ 0©ù§k'úªþI‡ŠƒA?U©AO´§'u¼ê ²ŒÈ‡¦AT?U‡¦È© Z b a ¯ ¯f(x) ¯ ¯ 2 ρ(x) dx 3© 3½Â ¼êSȃ￾§ÒŒ±½Â¼ê5†85§¿ïá¼ê88 ÜVg© e¼êf(x)Úg(x)÷v (f, g) ≡ Z b a f ∗ (x)g(x)dx = 0, K¡§‚´(3«m[a, b]þ)©e¼êf(x)Ú§gSÈ (f, f) ≡ Z b a f ∗ (x)f(x)dx = 1, ½= kfk = 1, K¡f(x)´8z© eéu¼ê8Ü{fi}§ðk (fi, fj ) ≡ Z b a f ∗ i (x)fj (x)dx = δij , K¡d¼ê8Ü´8© ~3 ¼ê8Ü © e inx/ √ 2π, n = 0, ±1, ±2, · · · ª 3«m[−π, π]þ´8© 8¼ê85Vg©XJéu(¼êm¥)?¿¼êf(x)§oŒ±L«¤ 8¼ê8{fi, i = 1, 2, · · · }‚5|Ü f(x) = X∞ i=1 cifi(x), (z) K¡8¼ê8{fi, i = 1, 2, · · · }´©