§182函数空间 第7页 8182函数空间 函数空间是一类特殊的矢量空间:空间的元素是函数,更确切地说,是定义在一定区 间(为确定起见,设为闭区间a≤x≤b上的复值函数f(x),并且积分/|(a)2dr在(“函 数f(x)平方可积”) ★定义元素f1和f2的加法f1+f2就是两函数相加 (f1+f2)(x)=f1(x)+f2(x) ★元素f和复数a的数乘af是 (af)(ar)=af(a), 这样的平方可积函数的集合,对于加法和数乘是封闭的,因此的确构成一个矢量空间 特别是,因为 (x)+12(x)2+|f()-f2(x)12=2Uf(x)2+(x) 所以,两个平方可积函数之和仍是平方可积的 (x)+f2(x)2≤2f1(x)2+(x)/] 定义4设f1(x)和=2(x)是函数空间中的两个函数,它们的内积是 (1, f2)=/fi(a)f2(a)dr 由于 f1(x)+|f2(x)-2f1(x)·|J2(a) h(x)-|f(x)川]2≥0 因此 fa)(x)=|f(2)|()≤5[(x)2+1(x) 所以积分/f(x)(x)d存在.又因为 fr(a)f2(a)dxs/Ifi(ar)f2(a)dr, 所以,只要f1(x)和2(x)平方可积,那么它们的内积也一定存在 回顾一下内积公理中的三条要求,前两条是显然满足的.而且,对于空间中的任意函 数f(x),恒有(f,f)≥0.在此基础上,可以定义函数f(x)的“长度” ‖f=(f,f)2/2, 称为函数∫(x)的范数§18.2 ¼êm 1 7  §18.2 ¼êm ¼êm´aAÏ¥þmµmƒ´¼ê§(ƒ/`§´½Â3½« m((½å„§4«ma ≤ x ≤ b)þEŠ¼êf(x)§¿…È© Z b a ¯ ¯f(x) ¯ ¯ 2 dx3(/¼ êf(x)²ŒÈ0)© F ½Âƒf1Úf2\{f1 + f2Ò´ü¼êƒ\§ (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x), F ƒfÚEêαê¦αf´ (αf)(x) = αf(x), ù²ŒÈ¼ê8ܧéu\{Úꦴµ4§Ïd(¤‡¥þm© AO´§Ï ¯ ¯f1(x) + f2(x) ¯ ¯ 2 + ¯ ¯f1(x) − f2(x) ¯ ¯ 2 = 2£ |f1(x)| 2 + |f2(x)| 2 ¤ , ¤±§ü‡²ŒÈ¼êƒÚE´²ŒÈ§ ¯ ¯f1(x) + f2(x) ¯ ¯ 2 ≤ 2 £ |f1(x)| 2 + |f2(x)| 2 ¤ . ½Â4 f1(x)Úf2(x)´¼êm¥ü‡¼ê§§‚SÈ´ (f1, f2) = Z b a f ∗ 1 (x)f2(x)dx. du ¯ ¯f1(x) ¯ ¯ 2 + ¯ ¯f2(x) ¯ ¯ 2 − 2 ¯ ¯f1(x) ¯ ¯ · ¯ ¯f2(x) ¯ ¯ = £ |f1(x)| − |f2(x)| ¤2 ≥ 0, Ïd ¯ ¯f ∗ 1 (x)f2(x) ¯ ¯ = ¯ ¯f1(x) ¯ ¯ · ¯ ¯f2(x) ¯ ¯ ≤ 1 2 £ |f1(x)| 2 + |f2(x)| 2 ¤ , ¤±È©Z b a ¯ ¯f ∗ 1 (x)f2(x) ¯ ¯dx3©qϏ ¯ ¯ ¯ Z b a f ∗ 1 (x)f2(x)dx ¯ ¯ ¯ ≤ Z b a ¯ ¯f ∗ 1 (x)f2(x) ¯ ¯dx, ¤±§‡f1(x)Úf2(x)²ŒÈ§@o§‚Sȏ½3© £eSÈún¥n^‡¦§cü^´w,÷v© …§éum¥?¿¼ êf(x)§ðk(f, f) ≥ 0©3dÄ:þ§Œ±½Â¼êf(x)/Ý0 kfk = (f, f) 1/2 , ¡¼êf(x)‰ê©