证明将a灬与(1,…,n)对应,即知A与1x…×n对等.由定理6,1x…×n是 可数集,故A是可数集口 例4设Q”是R中的有理点(即座标全为有理数的点)的全体所成的集.则 Q=Q×…xQ.由例3和定理6,Q”是可数集 例5整系数多项式的全体是可数集 证明对任意自然数n,令P是n次整系数多项式的全体,将n次整系数多项式 a+a1x+…+anx"与(ao,a1,…an)对应,即知P-∏Z(其中Z0,…,Zn=Z Zn=Z-{0}).由定理5 ∏ Z,是可数集,故P是可数集再利用定理4,UP是可数 集.即整系数多项式的全体是可数集■ 实数x称为是一个代数数,若x是某个整系数多项式的根 定理7代数数的全体是可数集 证明由例5,可以设整系数多项式的全体为{P1,P2,…}.又设 A={x:x是代数数} An={x:x是pn的零点},n=1,2,… 则每个A,是有限集,并且 A=UA 即A可以表示为一列有限集的并.利用定理5,代数数的全体是可数集■ 具有连续基数的集 定理8若A为无限集,B为有限集或可数集,则A∪B=A. 证明不妨设A∩B=②,否则用B-A代替B即可.因为A为无限集,由定理1,A 包含一个可数子集A1由于A1∪B是可数集,故(A1∪B)~A1.又因为 (A-A1)∩(A1∪B)= 因此我们有 A∪B=(4-A1)∪A∪B =(A-A1)∪(A1∪B)~(A-A1)∪A1=A14 证明 将 n ai , ,i 1 " 与( , , ) 1 n i " i 对应, 即知 A 与 n I ×"× I 1 对等. 由定理 6, n I ×"× I 1 是 可数集, 故 A 是可数集.■ 例 4 设 n Q 是 n R 中的有理点(即座标全为有理数的点)的全体所成的集. 则  .  " n Q = Q × ×Q n 由例 3 和定理 6, n Q 是可数集. 例 5 整系数多项式的全体是可数集. 证明 对任意自然数 n, 令 Pn 是 n 次整系数多项式的全体. 将 n 次整系数多项式 n n a + a x +"+ a x 0 1 与 ( , , ) a0 a1 "an 对应, 即知 Pn ~ ∏= n i i 0 Z (其中 Z0 ,", Zn−1 = Z ， Z = Z −{0} n ). 由定理 5, ∏= n i i 0 Z 是可数集, 故 Pn 是可数集. 再利用定理 4, ∪ ∞ n−0 Pn 是可数 集. 即整系数多项式的全体是可数集.■ 实数 x 称为是一个代数数, 若 x 是某个整系数多项式的根. 定理 7 代数数的全体是可数集. 证明 由例 5, 可以设整系数多项式的全体为{ , , }. p1 p2 " 又设 A = {x : x是代数数}, { : 是 的零点} n pn A = x x , n = 1, 2,". 则每个 An 是有限集, 并且 . 1 ∪ ∞ = = n A An 即 A 可以表示为一列有限集的并. 利用定理 5, 代数数的全体是可数集.■ 具有连续基数的集 定理 8 若 A 为无限集, B 为有限集或可数集, 则 A∪ B = A. 证明 不妨设 A∩ B = ∅, 否则用 B − A代替 B 即可. 因为 A 为无限集, 由定理 1, A 包含一个可数子集 . A1 由于 A1 ∪ B 是可数集, 故( ) A1 ∪ B ~ A1 . 又因为 ( ) ( ) , A − A1 ∩ A1 ∪ B = ∅ 因此我们有 A ∪ B = (A − A1 ) ∪ A1 ∪ B ( ) ( ) = A − A1 ∪ A1 ∪ B ~ ( ) .. A − A1 ∪ A1 = A