这表明A∪B=A. 由定理8知道,若A的基数是c,则A加上或去掉一个可数集后,其基数不变换言之, 相对应具有连续基数的集而言,可数集是无足轻重的 例6无理数集的基数为C 证明记无理数集为A,有理数集为Q.则由定理8,我们有 A=A∪Q=R 因此无理数集的基数为c■ 设x是一个实数.若x不是代数数,则称x为超越数.若类似于例6可以知道,超越数 的全体具有基数c.这表明超越数是存在的,而且要比代数数多得多 定理9直线上的任何区间的基数都是c 证明由例1知道区间(0,1)具有基数c.由于[0,]=(0,1)∽{0,1},由定理8, [0,1]=(0,1)=c.类似可证区间(0,1和[0,1)都具有基数c令 q:(0,1)→(a,b),g(x)=a+(b-a)x 则一一对应的映射.因此(a,b)=c.类似可证任何有界区间都具有基数c.利用函数 tanx作适当的映射,可以证明任何无界区间都具有基数c■ 思考题试直接给出区间[0,1与(0,1)的元素之间的一个对应关系,从而证明 [0,1] P进制小数设P>1为一自然数,{an}是一个数列,其中an只取O,1,…,P-1为值 则级数 收敛,并且其和x∈[0,1].我们可以把级数(2)的和记为 0.a 称上式的右边为P进制小数.在p进制小数(2)中,若有无穷个an≠0,则称之为无限p进 制小数,否则称之为有限p进制小数.这样,一个无限P进制小数表示区间(0,1]中的一个 实数 引理10无限p进制小数与区间(0,]中的实数一一对应 证明以P=2为例.一般情形是类似的.上面我们已经知道,一个无限二进制小数表 示区间(0,1]中的一个实数.反过来,设x∈(0]则存在k1=0或1,使得 k <X≤ k1+115 这表明 A∪ B = A. ■ 由定理 8 知道, 若 A 的基数是c, 则 A 加上或去掉一个可数集后, 其基数不变. 换言之, 相对应具有连续基数的集而言, 可数集是无足轻重的. 例 6 无理数集的基数为c. 证明 记无理数集为 A, 有理数集为Q . 则由定理 8, 我们有 . 1 A = A ∪ Q = R = c 因此无理数集的基数为c.■ 设 x 是一个实数. 若 x 不是代数数, 则称 x 为超越数. 若类似于例 6 可以知道, 超越数 的全体具有基数c. 这表明超越数是存在的, 而且要比代数数多得多. 定理 9 直线上的任何区间的基数都是c. 证明 由例 1 知道区间 (0, 1) 具有基数 c. 由于 [0,1] = (0,1) ∪{0,1}, 由定理 8, [0,1] = (0,1) = c. 类似可证区间(0, 1]和[0, 1) 都具有基数c.令 ϕ : (0, 1) → ( a, b), ϕ(x) = a + (b − a)x . 则ϕ 一一对应的映射. 因此 ( a, b) = c. 类似可证任何有界区间都具有基数 c. 利用函数 tan x 作适当的映射, 可以证明任何无界区间都具有基数c.■ 思考题 试直接给出区间 [0, 1] 与 (0, 1) 的元素之间的一个对应关系, 从而证明 [0,1] = c. p 进制小数 设 p > 1为一自然数, { } an 是一个数列, 其中 an 只取 0, 1,", p −1为值. 则级数 + +"+ n n +" p a p a p a 2 2 1 1 (1) 收敛, 并且其和 x ∈[0,1]. 我们可以把级数(2)的和记为 0. . x = a1a2 "an " (2) 称上式的右边为 p 进制小数. 在 p 进制小数(2)中, 若有无穷个 ≠ 0, an 则称之为无限 p 进 制小数, 否则称之为有限 p 进制小数. 这样, 一个无限 p 进制小数表示区间 (0,1]中的一个 实数. 引理 10 无限 p 进制小数与区间(0,1]中的实数一一对应. 证明 以 p = 2为例. 一般情形是类似的. 上面我们已经知道, 一个无限二进制小数表 示区间(0,1]中的一个实数. 反过来, 设 x ∈ (0,1]. 则存在 0 k1 = 或 1, 使得 , 2 1 2 1 1 + < ≤ k x k