令a1=k1,又存在k2=0或1,使得 k2 k 令a2=k2这样一直作下去,得到一个数列{an},其中an=0或1.并且容易知道有无穷 个an=1.显然由这样的数列{an}构成的级数(1)的部分和sn满足 0<x-S.< ≥ 令n→∞得到x= lim s即x是级数(1)的和于是x可以唯一地表示成无限二进制小数 x=0a142…an…■ 二元数列若{an}为一数列,并且每个an只取0或1两个可能的值,则称{an}为二元数 列 定理11(i).二元数列的全体所成的集具有连续基数c (i)设X为一可数集,则由X的全体子集所成的集(X)具有连续基数c 证明()将二元数列的全体所成的集记为A,无限二进制小数的全体记为E.则由引 理10,E=(0,1]=c.对每个自然数n≥1,令 ∈ 0 再令B=UB,则B是可数个有限集的并.由定理4,B是可数集。作映射 f∫:A-B→E,使得 f(a1,a2,…)=0.a4a2 则∫是一一的到上的,故A-B-E.因此A-B=E=c由定理8知道,=A-B=c (i).设X={x1,x2,…,xn,…作P(X)到二元数列的集A的映射q,使得 q(C)=(a1,a2,…),C∈(X) 若xn∈C, 其中 0若xngC. 则q是一一的到上的.故刃(x)~A,因此(X)=A=c 注1从定理11的证明过程知道,集 A={(a1,a2…):a1=0或1,并且有无限多个a1≠016 令 . 1 1 a = k 又存在 0 k2 = 或 1, 使得 . 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 + + < ≤ + k k x k k 令 . 2 2 a = k 这样一直作下去, 得到一个数列{ }, an 其中 = 0或1. an 并且容易知道有无穷 个 = 1. an 显然由这样的数列{ } an 构成的级数(1)的部分和 n s 满足 , 1. 2 1 0 < x − s < n ≥ n n 令 n → ∞ 得到 lim . n n x s →∞ = 即 x 是级数(1)的和. 于是 x 可以唯一地表示成无限二进制小数 0. . x = a1a2 "an " ■ 二元数列 若{ } an 为一数列, 并且每个 an 只取0或1两个可能的值, 则称{ } an 为二元数 列. 定理 11 (i).二元数列的全体所成的集具有连续基数c. (ii).设 X 为一可数集, 则由 X 的全体子集所成的集P (X ) 具有连续基数c. 证明 (i).将二元数列的全体所成的集记为 A, 无限二进制小数的全体记为 E. 则由引 理 10, E = (0,1] = c. 对每个自然数 n ≥ 1, 令 {( , , ) : 0, }. Bn = a1 a2 " ∈ A ai = i > n 再 令 . 1 ∪ ∞ = = n B Bn 则 B 是可数个有限集的并 . 由定理 4, B 是可数集 . 作映射 f : A − B → E, 使得 (( , , )) 0. . f a1 a2 " = a1a2 " 则 f 是一一的到上的, 故 A − B ~ E. 因此 A − B = E = c. 由定理 8 知道, A = A − B = c. (ii).设 { , , , , }. X = x1 x2 " xn " 作P (X ) 到二元数列的集 A 的映射ϕ ,使得 ( ) ( , , ), ϕ C = a1 a2 " C ∈P (X ). 其中    ∉ ∈ = 0 . 1 , x C x C a n n n 若 若 则ϕ 是一一的到上的. 故P (X ) ~ A , 因此P (X ) = A = c.■ 注 1 从定理 11 的证明过程知道, 集 {( , , ) : 0 1, 0} A = a1 a2 " ai = 或 并且有无限多个ai ≠