§19.2 Fourier变换 第7页 再利用 f(a, t)= F(h, t)edk 根据 Fourier变换的卷积公式 3[f1(x)3[f2(x)]=3 f1()f2(x-)d 就能最后得到 u(r, t) 2√丌 f( T)exp 和上一节中得到的解式完全一样 从解法上看, Fourier变换的反演问题似乎要比 Laplace变换简单一些,因为往往 不需要用留数定理来计算反演中出现的定积分.就本例而言,两种方法都要用到 卷积公式 ★再来解例2,无界弦上的自由振动问题, 02u202 ∞<x<∞,t>0; ul=0=叭(x), =p(x}∞<x<∞ dt lt=o 仍设u(x,t)的 Fourier变换存在 U(k, t)= 1 u(a, t)e da, 开 (k) p(a)e wl(ar)edr, 于是,在作 Fourier变换后,定解问题就变为 dt2+kaU(k, t)=0, (k,)=0=(k),U(k,t)1=0=(k 这是一个二阶常微分方程的初值问题,解之即得 U(k,t)=更(k) cos kat+业(k) sin kat§19.2 Fourier C† 1 7  2|^ f(x, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ F(k, t)eikxdk, ŠâFourierC†òÈúª§ F[f1(x)] F[f2(x)] = F · 1 √ 2π Z ∞ −∞ f1(ξ)f2(x − ξ)dξ ¸ , ÒU￾ u(x, t) = Z t 0 ( 1 √ 2π Z ∞ −∞ f(ξ, τ ) p 2κ(t − τ ) exp · − (x − ξ) 2 4κ(t − τ ) ¸ dξ ) dτ = 1 2 √ κπ Z t 0 ½Z ∞ −∞ f(ξ, τ ) exp · − (x − ξ) 2 4κ(t − τ ) ¸ dξ ¾ dτ √ t − τ . Úþ!¥)ª© l){þw§FourierC†‡ü¯Kq‡'LaplaceC†{ü §Ï ØI‡^3ê½n5OŽ‡ü¥Ñy½È©©Ò~ ó§ü«{ч^ òÈúª© F 25)~2§Ã.uþgdįK§ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, − ∞ < x < ∞, t > 0; u ¯ ¯ t=0 = φ(x), ∂u ∂t ¯ ¯ ¯ t=0 = ψ(x)− ∞, < x < ∞. Eu(x, t)FourierC†3§ U(k, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ u(x, t)e−ikxdx, ¿ Φ(k) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ φ(x)e−ikxdx, Ψ(k) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ ψ(x)e−ikxdx, u´§3ŠFourierC†￾§½)¯KÒC d 2U(k, t) dt 2 + k 2 a 2U(k, t) = 0, U(k, t) ¯ ¯ t=0 = Φ(k), U(k, t) ¯ ¯ t=0 = Ψ(k). ù´‡~‡©§Њ¯K§)ƒ= U(k, t) = Φ(k) cos kat + Ψ(k) sin kat ka .