§19.2 Fourier变换 第8页 根据 Fourier变换的反演公式,就可以求出 u(, t) √2r gp(k)cos kat e dk [(x+a)+(x-at) 类似地,还有 dk (k)/cos kat dr eikzdk a(a +ar)+v(r-ar)dr a+at v(e)de -at 代入上面的结果,最后就得到 u(ar,t_1 o(+at)+p(-at)+2a 2 v(E)da 这当然和用 Laplace变换得到的形式完全一样 例3求解三维无界空间波动方程的定解问题 f(r,t),t>0, t=0 解首先作 Fourier变换.令 U(k, t) (2x)3 u(r,t)exp{-ik·r}dr, F(k,t) f(r,t)exp{-ik·T}d p(T)exp{-ik·T}dr (27)3/2§19.2 Fourier C† 1 8  ŠâFourierC†‡üúª§ÒŒ±¦Ñ u(x, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ · Φ(k) cos kat + Ψ(k) sin kat ka ¸ e ikxdk. 5¿ 1 √ 2π Z ∞ −∞ Φ(k) cos kat e ikxdk = 1 √ 2π 1 2 Z ∞ −∞ Φ(k) h e ik(x+at) + eik(x−at) i dk = 1 2 £ φ(x + at) + φ(x − at) ¤ , aq/§„k 1 √ 2π Z ∞ −∞ Ψ(k) sin kat ka e ikxdk = 1 √ 2π Z ∞ −∞ Ψ(k) ·Z t 0 cos kaτ dτ ¸ e ikxdk = Z t 0 · 1 √ 2π Z ∞ −∞ Ψ(k) cos kaτ e ikxdk ¸ dτ = 1 2 Z t 0 h ψ(x + aτ ) + ψ(x − aτ ) i dτ = 1 2a Z x+at x−at ψ(ξ)dξ, \þ¡(J§￾Ò u(x, t) = 1 2 h φ(x + at) + φ(x − at) i + 1 2a Z x+at x−at ψ(ξ)dξ. ù,Ú^LaplaceC†/ª© ~3 ¦)n‘Ã.mÅЧ½)¯K§ ∂ 2u ∂t2 − c 2∇ 2 u = f(r, t), t > 0, u ¯ ¯ t=0 = φ(r), ∂u ∂t ¯ ¯ ¯ t=0 = ψ(r). ) ÄkŠFourierC†©- U(k, t) = 1 (2π) 3/2 ZZZ u(r, t) exp{−ik · r} dr, F(k, t) = 1 (2π) 3/2 ZZZ f(r, t) exp{−ik · r} dr, Φ(k) = 1 (2π) 3/2 ZZZ φ(r) exp{−ik · r} dr, Ψ(k) = 1 (2π) 3/2 ZZZ ψ(r) exp{−ik · r} dr,