§19.2 Fourier变换 第9页 则定解问题化为常微分方程初值问题 d-U k222U(k, t)=F(k, t) 更p(k) y(k) t=0 再作 Laplace变换 (k,t)=I(k,p), F(k,t)=3(k,p) 于是,定解问题进一步变成代数方程 p u(k, p)-p(k)-v(k)+kcs(k, p)=3(k, p) 解之即得 出(k,p)=2+k2(3(k,+)+( 求反演.先作 Laplace变换的反演,有 ,t)=y()sin kct (k)cos ko T F(k, t-T)dT 再作 Fourier变换的反演 u(T,t)=(2m)3/2 U(k,)exp{ik·r}dk x)3/2 业(k explik. r)dk )3/2 sin ker F(k, t-r)dr expfik. r)dk 利用 Fourier变换的折积公式,就可以求出上述各项的反演,从而就最终求出定解问题的解 采用k空间的球坐标,可以算出 p{ik·T}dk rose k2 sin 0 dk de do k sin kct dk ke 2§19.2 Fourier C† 1 9  K½)¯Kz~‡©§ÐŠ¯K d 2U dt 2 + k 2 c 2U(k, t) = F(k, t), U ¯ ¯ t=0 = Φ(k), dU dt ¯ ¯ ¯ t=0 = Ψ(k). 2ŠLaplaceC† U(k, t) ; U(k, p), F(k, t) ; F(k, p). u´§½)¯K?ÚC¤ê§ p 2U(k, p) − pΦ(k) − Ψ(k) + k 2 c 2U(k, p) = F(k, p). )ƒ= U(k, p) = 1 p 2 + k 2c 2 £ F(k, p) + pΦ(k) + Ψ(k) ¤ . ¦‡ü©kŠLaplaceC†‡ü§k U(k, t) = 1 kcΨ(k) sin kct + Φ(k) cos kct + 1 kc Z t 0 sin kcτ F(k, t − τ )dτ. 2ŠFourierC†‡ü§ u(r, t) = 1 (2π) 3/2 ZZZ U(k, t) exp{ik · r} dk = 1 (2π) 3/2 ZZZ Ψ(k) sin kct kc exp{ik · r} dk + 1 (2π) 3/2 ZZZ Φ(k) cos kct exp{ik · r} dk + 1 (2π) 3/2 ZZZ · 1 kc Z t 0 sin kcτ F(k, t − τ ) dτ ¸ exp{ik · r} dk. |^FourierC†òÈúª§ÒŒ±¦Ñþ㈑‡ü§l ҁª¦Ñ½)¯K)© æ^km¥‹I§Œ±ŽÑµ F 1‘ 1 (2π) 3/2 ZZZ sin kct kc exp{ik · r} dk = 1 (2π) 3/2 ZZZ sin kct kc e ikr cos θ k 2 sin θ dk dθ dφ = 1 √ 2πc Z ∞ 0 k sin kct dk Z π 0 e ikr cos θ sin θ dθ = 1 √ 2πc Z ∞ 0 sin kct 1 −ir e ikr cos θ ¯ ¯ ¯ π 0 dk = 1 √ 2πc 2 r Z ∞ 0 sin kct sin kr dk = r π 2 1 cr δ(r − ct).