力学规律和统计规律的关系(复旦大学物理系,孙鑫,2004年7月) f(P, q, )=C (23) 它在相空间(p,q)中是一个超曲面,此曲面将与能量曲面(22)相交,则体系的代 表点只能在此相交的部分运动,而不能遍历能量曲面,也就不能各态历经. 数学上已证明,“各态历经”的充要条件是该动力学体系具有“度量可移性” ( Metric Transitivity)向.该数学条件在物理上如何实现,还有待进一步研究.因 而,物理上,“各态历经”仍有假定的成分,尚未完全解决 但是,可以举出一些模型体系,它们是各态历经的.刚球模型就是其中之 4.刚球碰撞模型: 在一体积V固定的容器中装有N个半径为r的刚球,刚球之间及刚球与器壁 都是弹性碰撞 这是一个简单的力学模型.虽然刚球碰撞时动量守恒,但刚球与器壁碰撞, 球的动量要改变,而容器是外界,因而体系的总动量不是积分常数.此体系只有 总能量是积分常数.文献[6]证明了该体系是各态历经的 根据前面介绍的平均值定理,此体系的长时间平均等于系综平均,因而可从 力学规律导出 Maxwel分布 计算机的模拟结果显示,当N=10时,粒子很少,可以由力学确定任何时刻 各粒子的位置r(),是决定论因果性的.每个瞬时,按速率的分布n(v,)是断断 续续的,时刻在变,没有意义.但是,积累一段时间T后,将瞬时分布n(v,)按 时间T作平均,就逐渐显示出 Maxwel1分布.时间T不长时,分布的起伏σ(T)很 大.T增加时,起伏σ(T)逐渐减小,经过T后,趋向一稳定的起伏σ,见如下 示意图 当N=100时,瞬时的分布偏离 Maxwell分布仍较远,起伏很大.经时间 平均后,逐渐接近 Maxwell分布.与 N=10 N=10相比,达到稳定起伏的时间缩 N=100 短了,而且稳定的起伏σ也变小了.数 (10) σ(100- 值结果表示,σ0(100)约为a0(10)的 70(100)7(0 J3.这符合统计规律an(N)-1力学规律和统计规律的关系（复旦大学物理系，孙鑫，2004 年 7 月） 3 f ( p q i i , ) = C ， (2.3) 它在相空间( ) ,i i p q 中是一个超曲面，此曲面将与能量曲面(2.2)相交，则体系的代 表点只能在此相交的部分运动，而不能遍历能量曲面，也就不能各态历经． 数学上已证明，“各态历经”的充要条件是该动力学体系具有“度量可移性” （Metric Transitivity）[4]．该数学条件在物理上如何实现，还有待进一步研究．因 而，物理上，“各态历经”仍有假定的成分，尚未完全解决． 但是，可以举出一些模型体系，它们是各态历经的[5]．刚球模型就是其中之 一[6]． 4．刚球碰撞模型： 在一体积V 固定的容器中装有 N 个半径为r 的刚球，刚球之间及刚球与器壁 都是弹性碰撞． 这是一个简单的力学模型．虽然刚球碰撞时动量守恒，但刚球与器壁碰撞， 球的动量要改变，而容器是外界，因而体系的总动量不是积分常数．此体系只有 总能量是积分常数．文献[6]证明了该体系是各态历经的． 根据前面介绍的平均值定理，此体系的长时间平均等于系综平均，因而可从 力学规律导出 Maxwell 分布． 计算机的模拟结果显示，当 N =10时，粒子很少，可以由力学确定任何时刻 各粒子的位置ri ( )t ，是决定论因果性的．每个瞬时，按速率的分布n vt ( ) , 是断断 续续的，时刻在变，没有意义．但是，积累一段时间T 后，将瞬时分布n vt ( ) , 按 时间T 作平均，就逐渐显示出 Maxwell 分布．时间T 不长时，分布的起伏σ ( ) T 很 大．T 增加时，起伏σ ( ) T 逐渐减小，经过T0 后，趋向一稳定的起伏σ 0，见如下 示意图． 当 N =100 时，瞬时的分布偏离 Maxwell 分布仍较远，起伏很大．经时间 平均后，逐渐接近 Maxwell 分布．与 N =10相比，达到稳定起伏的时间T0 缩 短了，而且稳定的起伏σ 0 也变小了．数 值结果表示， σ 0 (100) 约为 σ 0 ( ) 10 的 1 3．这符合统计规律σ 0 ( ) N N ∼ 1 ． T σ ( ) T T0 (100) T0 (10) σ 0 (10) σ 0 (100) N =10 N = 100