教案讨论二 这里除去了一系列钻进“死胡同”的点.由 于这些点的测度为零,对计算平均值无贡献.例 如,所有分子都沿图中菱形边运动,相互碰撞 也离不开菱形. 有不少学者举出类似于上述的“死胡同” 作为反例,说明“各态历经”是不能实现的.这 是不妥的,因为该理论已指出,“各态历经”并 不包括这些特殊点,由于它们的测度为零,排 除它们不会改变能量曲面上的平均值 下面从几何上对“各态历经”打个比喻 个质点沿圆环等速率运动,角速度为 o.同时,该圆环绕轴线OO匀速转动,角速 度为g2.两者合成质点在球面上的运动,画出 条轨道.如果a与Ω之比是有理数,则此轨 道在球面上闭合,不能各“态”历经.如果 与Ω之比是无理数,则此轨道可无限接近球面 上的任何一点,但不能保证可以到达每一点 2.平均值定理 O 如果某体系是各态历经的,则系综平均值 等于沿轨道的时间平均值: )系=mrf(5()d, 其中ξ表示体系在相空间中代表点的全部坐标.因此,只要“各态历经”成立, 系综论的假设就有了力学基础.在此意义上,可由力学规律导出系综理论.有一 学派就认为“各态历经”是统计物理的基本假定 这样,统计物理的基本问题变为“各态历经”能否实现 3.实现“各态历经”的条件 N个粒子的系统有3N个自由度, Hamilton方程是6N个联立的微分方程 组.如果是完全可积的,则有6N个运动常数,其中的一个是总能量E(能量守 恒): (P, q ) =E (2.2) 通俗一点讲,某体系可以各态历经的条件是:除能量积分外,不存在其他的 运动积分.这是容易理解的.如果还存在另一积分2 教案讨论二 ω Ω O O′ 这里除去了一系列钻进“死胡同”的点．由 于这些点的测度为零，对计算平均值无贡献．例 如，所有分子都沿图中菱形边运动，相互碰撞 也离不开菱形． 有不少学者举出类似于上述的“死胡同” 作为反例，说明“各态历经”是不能实现的．这 是不妥的，因为该理论已指出，“各态历经”并 不包括这些特殊点，由于它们的测度为零，排 除它们不会改变能量曲面上的平均值． 下面从几何上对“各态历经”打个比喻． 一个质点沿圆环等速率运动，角速度为 ω ．同时，该圆环绕轴线OO′ 匀速转动，角速 度为Ω ．两者合成质点在球面上的运动，画出 一条轨道．如果ω 与Ω 之比是有理数，则此轨 道在球面上闭合，不能各“态”历经．如果ω 与Ω 之比是无理数，则此轨道可无限接近球面 上的任何一点，但不能保证可以到达每一点． 2．平均值定理[3]： 如果某体系是各态历经的，则系综平均值 等于沿轨道的时间平均值： ( ) ( ) 0 0 1 lim d t T T t f f tt T ξ + →∞ = 系综 ∫ ， (2.1) 其中ξ 表示体系在相空间中代表点的全部坐标．因此，只要“各态历经”成立， 系综论的假设就有了力学基础．在此意义上，可由力学规律导出系综理论．有一 学派就认为“各态历经”是统计物理的基本假定． 这样，统计物理的基本问题变为“各态历经”能否实现． 3．实现“各态历经”的条件： N 个粒子的系统有3N 个自由度，Hamilton 方程是 6N 个联立的微分方程 组．如果是完全可积的，则有6N 个运动常数，其中的一个是总能量 E （能量守 恒）： H E ( p q i i , ) = ． (2.2) 通俗一点讲，某体系可以各态历经的条件是：除能量积分外，不存在其他的 运动积分．这是容易理解的．如果还存在另一积分