由此可见,用了广义坐标q1,q2;T,V都可表为广义坐标或其导数的平方和的形式,拉 格朗日方程中各广义坐标互不关联,因而解可以直接写出。q1q2就称为简正坐标。问题是 如何找简正坐标? 2.第一种方法:利用线性代数的方法 寻找简正坐标,把二次型化为平方和,就是把上述两个矩阵同时化为对角型 采用线性变换 T=m}2(1q2 1/21/2211/21/2 1/2-1/2人11人1/2-1/2人2 2m/ 0 q1 0 q2 对于拉格朗日方程组,矩阵形式为 802 dt-I 把转换为q,引入了一个矩阵,再左乘这个矩阵的转置,得 2d/dm2+g/1) 1/21/2 12-1/2人d2dn2d2ld2+g1人1/2-1/√2人q2 0 2丿dr2l 4=0这就是教材183页(44)式 处理一般情况的系统数学方法,可参阅教材§6。5(187-192页): 第一步,利用正交矩阵,先将其中一个矩阵对角化;第二步,再将另一个矩阵对角化, 同时保持第一个矩阵为对角形式。由于这两个矩阵都是实对称的,这样做总是可能的。证明 可查阅线性代数的有关教材 3.第二种方法:待定系数法。(见教材186页) 在两个自由度的情况下,这是很方便的。还是来看178页例1。寻找简正坐标,即寻找 把转换为q的矩阵,由此可见，用了广义坐标 ； 都可表为广义坐标或其导数的平方和的形式，拉 格朗日方程中各广义坐标互不关联，因而解可以直接写出。 就称为简正坐标。问题是： 如何找简正坐标？ 1 2 q q, T V, 21,qq 2．第一种方法：利用线性代数的方法。 事实上， ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 21 2 11 12 2 1 θ θ θθ   mlT  ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 21 10 02 2 1 θ θ mglV θθ 寻找简正坐标，把二次型化为平方和，就是把上述两个矩阵同时化为对角型 采用线性变换 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 2 1 2/11 2/11 θ θ q q ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 2 1 2/12/1 2/12/1 q q θ θ ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 1 21 2 2 1 21 2 2/110 02/11 2 1 2/12/1 2/12/1 11 12 2/12/1 2/12/1 2 1 q q qqml q q qqmlT       ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 1 21 2 1 21 10 01 2 1 2/12/1 2/12/1 10 02 2/12/1 2/12/1 2 1 q q qqmgl q q qqmglV 对于拉格朗日方程组，矩阵形式为 0 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + θ θ l g dt d dt d dt d l g dt d 把θ 转换为 ，引入了一个矩阵，再左乘这个矩阵的转置，得 q ( ) 0 2/12/1 2/12/1 / // ///2 2/12/1 2/12/1 2 1 22 22 22 22 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − q q lgdtddtd dtdlgdtd 即 0 2 1 0 1 0 2 1 1 2 1 2 2 2 2 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + q q l g dt d l g dt d 这就是教材 183 页 式 ( 4.4 ) 处理一般情况的系统数学方法，可参阅教材§6。5（187－192 页）： 第一步，利用正交矩阵，先将其中一个矩阵对角化；第二步，再将另一个矩阵对角化， 同时保持第一个矩阵为对角形式。由于这两个矩阵都是实对称的，这样做总是可能的。证明 可查阅线性代数的有关教材。 3．第二种方法：待定系数法。（见教材 186 页） 在两个自由度的情况下，这是很方便的。还是来看 178 页例 1。寻找简正坐标，即寻找 把θ 转换为 的矩阵， q 5