第十四章傅里叶级数 §1三角级数与傅里叶级数 证明 (1)sinx, sin 2x, sinn,…是[0,]上的正交系 (2) sinx, sin 3x sin(2n+1)x,…是[O,]上的正交系 (3)1,cosx,cos2x,…,cosn,…是[0,x]上的正交系; (4)1,sinx,sin2x,…, sinn,…不是[,]上的正交系 2.求下列周期为2x的函数的傅里叶级数: (1)三角多项式P(x)=∑(acsx+ b sin ix) (2)f(x)=x3(-z<x<z) (4)f(x)=e"(-z<x<丌) (5)f()=(sinx(-I<x<T) (6)f(x)=xcosx (T (7)f(x) 0.0≤x<z f(x)=n2-x2 (-z<x<z) 9)f(x)=sgn cosx (0)(x)=x-x(0<x<2z) 3.设∫(x)以2丌为周期,在[-丌,x]绝对可积,证明: (1)如果函数f(x)在[,]满足f(x+x)=f(x),则第十四章 傅里叶级数 §1 三角级数与傅里叶级数 1．证明 (1) sin x ，sin 2x， ， sinnx ， 是 [0, ]  上的正交系； (2) sin x ，sin3x， ， sin 2 1 ( n x + ) ， 是 [0, ] 2  上的正交系； (3) 1， cos x，cos2x ， ，cosnx ， 是 [0, ]  上的正交系； (4) 1，sin x ，sin 2x， ， sinnx ， 不是 [0, ]  上的正交系； 2．求下列周期为 2 的函数的傅里叶级数： (1) 三角多项式 ( ) ( ) 0 cos sin n n i i i P x a ix b ix = = +  ； (2) ( ) ( ) 3 f x x x = −     ； (3) ( ) cos 2 x f x = ； (4) ( ) ( ) ax f x e x = −     ； (5) f x x x ( ) = −   sin (   ) ； (6) f x x x x ( ) = −   cos (   ) ； (7) ( ) , 0 0, 0 x x f x x    −   =     ； (8) ( ) ( ) 2 2 f x x x = − −      ； (9) f x x ( ) = sgn cos ； (10) ( ) 0 2 ( ) 2 x f x x   − =   . 3．设 f x( ) 以 2 为周期，在 [ , ] −  绝对可积，证明： (1) 如果函数 f x( ) 在 [ , ] −  满足 f x f x ( + =  ) ( ) ，则 2 1 2 1 0, 1,2, m m a b m − − = = = ；