=a(coswot coswot:+sin@tisintz) B(t,ta)=R(ti,ta)-E [z(t)].E [z(ta)]=o'cos 【例2-7】若随机过程z(t)=m(t)cos(oot+中)，其中，m(t)是广义平稳随机过程，且 自相关函数R(T)为 1+t,.-1<t<0 R()1-t0≤t<1 0.,其它 中是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此独立。 (1)证明z(t)是广义平稳的： (2)绘出自相关函数R(t)的波形 ()求功率谱密度.()及功率S 解()若E[z()] 常数，R(t,t+t)=R(t),则z(t)为广义平稳的 E[z(t)]=E[m(t)·cos(o。t+φ)] =E[m(t)]·E[cos(wt+中)][m(t)与Φ独立] =E[m(t)]·[2(cos wtcos中-sinwtsin中) =a·0=0 R(t,t)=E[z(t)·z(t)] =E[m(ti)·cos(ut+中)·m(t)·cos(at2+中)] =E[m(t1)·m(t2)]·E[cos(u0t1+Φ)cos(a0t2+Φ)] 5os,+)+2+cosa,6-4) R()·aos@,6+4)+21+osa,4-5川 -()( 可见，z(t)的均值与t无关，自相关函数只与时间间隔ī有关，所以z(t)是广义平稳 的。 (2)R.()=-R-(t)cos.t 其波形如图2-7所示，图中设f。=3。 3)因为 F [cosoT]=[8(0+00)+8(0- )1 F[R(r)]=5a(2 图2-7例2-7图 2‘2玩F[cosu,r]帮[R(t)门 (u)= 1 所以8 =σ 2 (cosω0t1cosω0t2+sinω0t1sinω0t2) =σ 2 cosω0τ B(t1,t2)=R(t1，t2)-E［z(t1)］·E［z(t2)］=σ 2 cosω0τ 【例 2-7】 若随机过程 z(t)=m(t)cos(ω0t+φ)，其中，m(t)是广义平稳随机过程，且 自相关函数 Rm(τ)为 Rm(τ)=      −   + −   其它   0, 1 , 0 1 1 , 1 0     φ是服从均匀分布的随机变量，它与 m(t)彼此独立。 (1) 证明 z(t)是广义平稳的； (2) 绘出自相关函数 Rz(τ)的波形； (3) 求功率谱密度 Pz(ω)及功率 S。 解 (1) 若 E［z(t)］=常数，Rz(t1,t1+τ)=R(τ)，则 z(t)为广义平稳的。 E［z(t)］=E［m(t)·cos(ω0t+φ)］ =E［m(t)］·E［cos(ω0t+φ)］［m(t)与φ独立］ =E［m(t)］·  2 0 (cosω0tcosφ-sinω0tsinφ) 2 1 dφ =a·0=0 Rz(t1,t2)=E［z(t1)·z(t2)］ =E［m(t1)·cos(ω0t1+φ)·m(t2)·cos(ω0t2+φ)］ =E［m(t1)·m(t2)］·E［cos(ω0t1+φ)cos(ω0t2+φ)］ =Rm(τ)·E       + + + cos ( − ) 2 1 cos[ ( ) 2 ] 2 1 0 1 2 0 1 2  t t   t t =Rm(τ)·       + + + cos ( − )] 2 1 cos[ ( ) 2 ] [ 2 1 [ 0 1 2 0 1 2 E  t t  E  t t =Rm(τ)·       + cos ( − ) 2 1 0 0 1 2  t t = 2 1 cosω0τ·Rm(τ) 可见，z(t)的均值与 t 无关，自相关函数只与时间间隔τ有关，所以 z(t)是广义平稳 的。 (2) Rz(τ)= 2 1 Rm(τ)cosω0τ 其波形如图 2-7 所示，图中设 f0=3。 (3) 因为 F［cosω0τ］=π［δ(ω+ω0)+δ(ω-ω 0)］ F［Rm(τ)］=Sa2       2 w 图 2-7 例 2-7 图 所以 Pz(ω)＝ 2 1 · 2 1 ·F［cosω0τ］*F［Rm(τ)］