如果当各小弧段的长度的最大值A→>0时,这和的极限存在, 则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 或第一类曲线积分,记作f(xy)d,即 (xy)ds=m2/(,n),△ 曲线形构件的质量M=.m(x,y)d 2存在条件: 当∫(x,y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分[f(x,y)d存在 3推广 函数f(x,y,=)在空间曲线弧I上对弧长的曲线积分为 [f(xy=)d=m∑/(5,,)As 注意: 1.若L(或冂是分段光滑的(L=L1+L2) s+L f(, y)ds LA(x, y)ds+L/(x,)ds 2.函数(xy)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记对f(x,y)b 4性质 ()[f(xy)±g(xy)ds=f(x,y)d±g(x,y)d (2)0(xy)=(xy)(为常数) (3J/(xy)d=f(xy)4+f(x,y2(L=L4+2) 三、对弧长曲线积分的计算 定理 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为 q(1) y=v() (a≤t≤B)其中o(1),v()在a,B上具有一阶连续 导数,且[f(x,y)ds=[oOv(m)yq2()+v2()dh (a<B) 注意:1.定积分的下限a一定要小于上限B3 ( , ) lim ( , ) . , ( , ) , ( , ) 0 , , 1  0  = → =   → n i i i i L L f x y ds f s f x y ds f x y L     或 第一类曲线积分 记作 即 则称此极限为函数 在曲线弧 上对弧长的曲线积分 如果当各小弧段的 长度的最大值 时 这和的极限存在 曲线形构件的质量 ( , ) .  = L M  x y ds 2.存在条件： ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存在 当 在光滑曲线弧 上连续时 L f x y ds f x y L 3.推广 函数 f (x, y,z)在空间曲线弧上对弧长的曲线积分为 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds =  f s  =  →     注意： 1. ( ) , ( ) 若L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2    = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds 2. ( , ) ( , ) . L 函数f x y 在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为 f x y ds 4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) .     =  L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf(x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2    = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2 三、对弧长曲线积分的计算 定理 ( ) , ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) [ , ] ( ), ( ), ( , ) , 2 2                  =  +       = =   f x y ds f t t t t dt t t t y t x t f x y L L L 导数 且 其中 在 上具有一阶连续 设 在曲线弧 上有定义且连续 的参数方程为 注意: 1. 定积分的下限一定要小于上限;