()=4 0<t<r 由公式 [(=,4r2 ars f(e"dr A A tanh (2)由图易知f()=2(-)+(-37)+(-57)+…]=2(-(2k+1)r), 当R()>0时,可/(-=2∑m=2.c1 sinh st (3)由图易知f()=8(1)-2(-2),当Re(s)>0时, sf()]=∑ e-ksr8 2e-25 (4)由图易知f()=[()+(1-)+(-2x)+…=∑l(-kr),当Re(s)>0时 f()]=∑ 2 习题三 设f(),f2(D)均满足拉氏变换存在定理的条件(若它们的增长指数均为c),且 s[f(D=F1(s),f2(1)]=F2(s),则乘积f1(1)·f2(1)的拉氏变换一定存在,且 [f(.()=2xj3p E(F(s-q)dq 其中β>c,Re(s)>B+c 证由于f()/()均满足拉氏变换存在定理的条件以及增长指数均为c,知乘积f()f()也 定满足拉氏变换存在的定理的条件且增长指数为2c0根据拉氏存在定理的证明当B>c0时, cf()f()]=f()(0)e”b在Re3≥B+上存在且一致收敛由于 f()= F(qe'dq( ) , 0 , 2 A t f t A t τ τ τ ⎧ ≤ < = ⎨ ⎩− ≤ < 由公式 & ( ) ( ) 2 2 1 0 st s A f t f t e dt e τ τ − − ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ − ∫ ( ( ) ) 2 2 0 1 1 st st s A e dt e dt e τ τ τ τ − − − = + − − ∫ ∫ 2 0 2 1 | | st st t t s A e e e s s τ τ τ τ − − = = − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − − − ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ 2 2 1 1 s s s s A e e e e s τ τ τ τ − − − − − + − = ⋅ − ( )2 2 1 tanh 1 2 s s A A e s e s τ τ τ s − − − = ⋅ = − (2) 由图易知 0 ( ) 2[ ( ) ( 3 ) ( 5 ) ] 2 ( (2 1) ) k f t u t τ u t τ τ u t u t k ∞ = = − + − + − +" = ∑ − + τ ， 当Re(s) > 0 时，& ( ) (2 1) 2 0 2 2 1 sin s k s s k e f t e s s e s τ τ τ 1 h sτ ∞ − − + − = ⎡ ⎤ = = ⋅ = ⎣ ⎦ − ∑ (3) 由图易知 f ( )t = 8u t( ) − 2u t( − 2) ，当 Re(s) > 0 时， & ( ) 2 2 0 1 8 2 2 (4 ) s ks s k e f t e e s s s s τ ∞ − − − = ⎡ ⎤ = = − = − ⎣ ⎦ ∑ (4)由图易知 0 ( ) [ ( ) ( ) ( 2 ) ] ( k f t u t u t τ u t τ u t kτ ) ∞ = = + − + − +" = ∑ − ，当 Re(s) > 0 时 & ( ) 0 1 1 1 1 (1 coth ) 1 2 ks s k s f t e s s e s τ τ 2 τ ∞ − − = ⎡ ⎤ = = ⋅ = + ⎣ ⎦ − ∑ 习题三 1．设 1f ( )t ， 2f ( )t 均满足拉氏变换存在定理的条件（若它们的增长指数均为 c ），且 & 1 1 [ ( f t)] = F (s)，& 2 2 [ ( f t F )] = (s) ，则乘积 1 2 f ( )t f ⋅ (t) 的拉氏变换一定存在，且 &[ ] j 1 2 1 2 j 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 j f t f t F q F s q dq β π β + ∞ − ∞ ⋅ = − ∫ 其中 β > c ，Re(s c ) > β + 。 证 由于 f1 ( )t , f 2 (t)均满足拉氏变换存在定理的条件以及增长指数均为c0，知乘积 f ( )t f (t) 1 2 也一 定满足拉氏变换存在的定理的条件且增长指数为 2c0 .根据拉氏存在定理的证明当 0 β > c 时， & 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) 0 st f t f t f t f t e dt +∞ − ⎡ ⎤ ⋅ = ⎣ ⎦ ∫ 在 Re 0 s ≥ β + c 上存在且一致收敛.由于 ( ) ( ) i 1 1 i 1 2 i qt f t F q β π β + ∞ − ∞ = ∫ e dq 而 & 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) 0 st f t f t f t f t e dt +∞ − ⎡ ⎤ ⋅ = ⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) i 1 2 0 i 1 2 i qt st F q e dq f t e dt β π β +∞ + ∞ − − ∞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ - 11 -