§94 Zeeman效应 1.带有自旋的电子在电磁场中的 Hamiltonian 实验证明,在外磁场中,原子的能级会发生分裂,结果是原子的特征谱线也发生分裂,这称为 Zeeman 效应。理论的解释是:电子的磁矩和外磁场产生了附加的相互作用能 我们在§61中已经介绍过:在外磁场中运动的电荷的 Hamiltonian是(先不考虑电场) H=2μ 其中已经代入了电子的q=-e。在原子的范围内,外磁场可以认为是均匀的,所以A=B×P/2,如果 B=Be2,那么A=(-By/2,Bx/2,0),代入得(参见62) (x2+y2) 考虑了电子带自旋以后, Hamiltonian应该修改为 H P+e A).o 回忆公式(见§9.1) (a·G)(b·G)=a·b+i(a×b)G, 所以 =(+分+(+)=2(++×,可 (P+eA)+=B-o 注意到S=(h/2)G,B=BE以及上面(P+eA)2展开的结果,它又可以写为 =P2+Be(L2+25)+Be(x2+ 所以与无自旋电子的 Hamiltonian的不同之处只是用L+2S.代替了L.。再把电场对电荷的作用以及自 旋-轨道耦合加上去,最后得到 B=2P2+()+20(2+25)+500.5+8(x+y) 在这里,B的线性项可以做这样的物理解释:我们在§54中证明了-eL/24=M是电子的轨道磁矩, 在S91中又说明了-eS/=Ms是电子的自旋磁矩,所以实际上 Be(2+25)=-(M12+M) 这正是磁矩与磁场的相互作用能量的经典表达式 2.正常 Zeeman效应 现在我们来估计一下H中增加的那些项的大小。设原子的尺度为a(Bohr半径的量级),那么 其中Φ0=h/e=413567X×105Vs是磁通量子(见62)由于a-10-0m,且通常来说B<10T, 所以Ba2/Φ0<10-。这样一来在中的B2项就可以略去。再进一步,如果磁场比较强,那么自旋 轨道耦合项相对于磁矩-磁场相互作用项又可以略去,所以我们有 B H V()+~(L+2S) 21 §9.4 Zeeman 效应 1．带有自旋的电子在电磁场中的 Hamiltonian 实验证明，在外磁场中，原子的能级会发生分裂，结果是原子的特征谱线也发生分裂，这称为 Zeeman 效应。理论的解释是：电子的磁矩和外磁场产生了附加的相互作用能。 我们在§6.1 中已经介绍过：在外磁场中运动的电荷的 Hamiltonian 是（先不考虑电场） 1 ˆ 2 ˆ ( ) , 2 H P e A  = + 其中已经代入了电子的 q e = − 。在原子的范围内，外磁场可以认为是均匀的，所以 A r =  / 2 ，如果 z  = e ，那么 A y x = −  ( / 2, / 2, 0) ，代入得（参见§6.2） 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ). 2 2 2 2 2 8 x y z z e e e e H P y P x P P L x y               = − + + + = + + +               考虑了电子带自旋以后，Hamiltonian 应该修改为 ( ) 2 1 ˆ ˆ ( ) . 2 H P e A   = +  回忆公式（见§9.1） ( )( ) i ( ) , a b a b a b   =  +      ˆ 所以 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) i ( ) ( ) ( ) 2 2 1 ˆ ( ) . 2 2 H P e A e P A A P P e A e A e P e A        = + +  +   = + +    = + +   注意到 ( / 2) , z S e =  =   以及上面 ˆ 2 ( ) P e A + 展开的结果，它又可以写为 2 2 ˆ 1 ˆ 2 2 2 ˆ ˆ ( 2 ) ( ). 2 2 8 z z e e H P L S x y      = + + + + 所以与无自旋电子的 Hamiltonian 的不同之处只是用 ˆ ˆ 2 L S z z + 代替了 ˆ Lz 。再把电场对电荷的作用以及自 旋-轨道耦合加上去，最后得到 2 2 1 ˆ 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( 2 ) ( ) ( ). 2 2 8 z z e e H P V r L S r L S x y       = + + + +  + + 在这里，  的线性项可以做这样的物理解释：我们在§5.4 中证明了 / 2 L − = eL M  是电子的轨道磁矩， 在§9.1 中又说明了 / S − = eS M  是电子的自旋磁矩，所以实际上 ˆ ˆ ( 2 ) ( ). 2 z z L S e L S M M   + = −  + 这正是磁矩与磁场的相互作用能量的经典表达式。 2．正常 Zeeman 效应 现在我们来估计一下 H ˆ 中增加的那些项的大小。设原子的尺度为 a （Bohr 半径的量级），那么 2 2 0 , ( / ) e A a a P h e    其中 15 0 h e/ 4.135667 10 V s −  = =  是磁通量子（见§6.2）。由于 10 a 10 m − ，且通常来说  10 T ， 所以 2 4 0 a / 10−    。这样一来在 H ˆ 中的 2  项就可以略去。再进一步，如果磁场比较强，那么自旋- 轨道耦合项相对于磁矩-磁场相互作用项又可以略去，所以我们有 ˆ 1 ˆ 2 ˆ ˆ ( ) ( 2 ), 2 2 z z e H P V r L S    = + + +