《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 §4泰勒公式与极值问题 教学目的掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值 的必要条件与充分条件. 教学要求 (1)掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极 值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大（小）值. (②)掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的必 要条件充分条件定理的证明. 教学建议 (1)布置适量的求二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值与最值的习 题. (②)讨论混合偏导和与求导次序无关的多种定理证明的习题有一定的难度， 只对较好学生布置有关习题. 教学程序 一、中值定理： 定理设二元函数∫在凸区域DcR2上连续，在D的所有内点处可微，则 对D内任意两点P(a,b),Qa+h,b+k)∈mtD,存在0(0<0<1)，使 f(a+h,b+k)-f(a,b)=f(a+0h,b+)h+f(a+h,b+)k. 证：令Φ()=f(a+h,b+k),然后利用一元函数的中值定理. 推论若函数∫在区域D上存在偏导数，且了，=∫，=0，则∫是D上的常 值函数. 二、Taylor公式： 定理(Taylor公式)若函数f在点B(xo,)的某邻域U(B)内有直到 n+1阶连续偏导数，则对U(P)内任一点(xo+h,6+k),存在相应的 0∈(0,1)，使《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 1 §4 泰勒公式与极值问题 教学目的 掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值 的必要条件与充分条件． 教学要求 (1)掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极 值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值． (2)掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的必 要条件充分条件定理的证明． 教学建议 (1) 布置适量的求二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值与最值的习 题． (2) 讨论混合偏导和与求导次序无关的多种定理证明的习题有一定的难度， 只对较好学生布置有关习题． 教学程序 一、中值定理： 定理 设二元函数 f 在凸区域D 2  R 上连续 , 在D 的所有内点处可微 . 则 对 D 内任意两点 P(a,b), Q(a + h , b + k) int D , 存在  ( 0    1) , 使 f a h b k f a b f a h b k h f a h b k k x ( + , + ) − ( , ) = ( + , + ) + ( + , + ) . 证: 令  = + + ( ) ( , ) , t f a th b tk 然后利用一元函数的中值定理. 推论 若函数 f 在区域 D 上存在偏导数 , 且 x f  y f  0 , 则 f 是 D 上的常 值函数. 二、 Taylor 公式: 定理 (Taylor 公式) 若函数 f 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某邻域 ( )  P0 内有直到 n +1 阶连续偏导数 , 则对 ( )  P0 内任一点 ( , ) 0 0 x + h y + k ,存在相应的   (0 ,1) , 使