《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 f(x。+h,yo+k) 会4别"层a剧 证略 例1求函数f(x,y)=x'在点(1,4)的7 aylor公式（到二阶为止）·并 用它计算(1.08)36 三、极值问题： (一)、极值的定义：注意只在内点定义极值， (二)、极值的必要条件：与一元函数比较. 定理设P,为函数∫P)的极值点·则当f,(P)和存在时，有 f(B)=f(P)=0. （证) 函数的驻点、不可导点，函数的可疑点， (三)、极值的充分条件： 代数准备：给出二元（实）二次型g(x,)=a2+2bxy+gy2.其矩阵为 (a b b c 1g(x,)是正定的，台顺序主子式全>0， g(x,)是半正定的，一顺序主子式全≥0： 2g(x,)是负定的，一(-1)1a,1>0,其中|a,为k阶顺序主子式 g(x)是半负定的，台(-1)1a,20. 3侣80时，感是不定的 充分条件的讨论设函数f(x,y)在点P(x。,八)某邻域有二阶连续偏导数 由Taylor公式，有 ++-xw-(会++会+)+o 2 《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 2 = + + +           +   + +           +   + + = n i i n f x h y k y k x h n f x y y k x h i f x h y k 0 0 0 1 0 0 0 0 ( , ). ( 1)! 1 ( , ) ! 1 ( , )   证 略 例 1 求函数 y f (x, y) = x 在点 (1, 4 ) 的 Taylor 公式 ( 到二阶为止 ) . 并 用它计算 (1.08 ) . 3.96 三、 极值问题: （一）、极值的定义: 注意只在内点定义极值. （二）、极值的必要条件：与一元函数比较 . 定理 设 P0 为函数 f (P) 的极值点 . 则当 ( ) P0 f x 和存在时 , 有 ( ) P0 f x = ( ) P0 f y = 0 . ( 证 ) 函数的驻点、不可导点 ， 函数的可疑点 . （三）、极值的充分条件: 代数准备: 给出二元( 实 )二次型 2 2 g(x, y) = ax + 2bxy + cy . 其矩阵为         b c a b . 1 g(x, y) 是正定的, 顺序主子式全 0 , g(x, y) 是半正定的, 顺序主子式全  0 ; 2 g(x, y) 是负定的, (−1) | | 1  0 k ij k a , 其中 k aij 1 | | 为 k 阶顺序主子式. g(x, y) 是半负定的,  (−1) | | 1  0 k ij k a . 3         b c a b < 0 时, g(x, y) 是不定的. 充分条件的讨论 设函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 某邻域有二阶连续偏导数 . 由 Taylor 公式 , 有 ( ) ( ) 2! 1 ( , ) ( , ) ( ) 2 0 2 0 0 0 0 0 +             +   +           +   + + − = f P y k x f P h y k x f x h y k f x y h