《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 =f(B)+()k+(+2(+(]p) 令A=(B),B=了n(B),C=了(B),则当P为驻点时，有 f,+h,%+k)-f,)=+2Bk+C+(p.其中p=F+。 可见式fx。+h,+)-fx0,)的符号由二次型Ah+2所k+CK2完全决 定 称该二次型的矩阵为函数f(x,y)的esse矩阵.于是由上述代数准备，有 1A>0,AC-B2>0,→P为（严格)极小值点： 2A<0,AC-B2>0,→P为（严格)极大值点； 3AC-B2<0时，P,不是极值点： 44C-B2-0时，P可能是极值点，也可能不是极值点 综上，有以下定理： 定理设函数f(P)在点P,的某邻域内有连续的二阶偏导数，P,是驻点· 则 1f(R)>0,.∫n-fP)>0时，P为极小值点； 2f(B)<0,ffn-f)>0时，P为极大值点： 3fm-fB)<0时，P不是极值点： 4.f,-fP)=0时，P可能是极值点，也可能不是极值点， 四、函数的最值： 例8求函数 f(x,y)=x2+4xy-2y2-10x+4y 在域D={(x,)川x≥0，y≥0，x+y≤4}上的最值. 解令 [f(x,y)=2x+4y-10=0, f,(x,y)=4x-4y+4=0. 解得驻点为(1,2).f(1,2)=-1 在边界x=0(0≤y≤4)上，f0,)=-2y2+4y,驻点为y=1, 3《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 3 = ( ) P0 f x h + ( ) P0 f y k +  ( ) 2 ( ) ( )  ( ) 2! 1 2 2 0 0 2 f xx P0 h + f xy P hk + f yy P k +   . 令 ( ) P0 A f = xx , ( ) P0 B f = xy , ( ) P0 C f = yy , 则当 P0 为驻点时, 有  2  ( ) 2 1 ( , ) ( , ) 2 2 2 f x0 + h y0 + k − f x0 y0 = Ah + Bhk + Ck +   . 其中 2 2  = h + k . 可见式 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + h y + k − f x y 的符号由二次型 2 2 Ah + 2Bhk + Ck 完全决 定. 称该二次型的矩阵为函数 f (x, y) 的 Hesse 矩阵. 于是由上述代数准备, 有 1 0 , 0 2 A  AC − B  , 0  P 为 ( 严格 ) 极小值点 ; 2 0 , 0 2 A  AC − B  , 0  P 为 ( 严格 ) 极大值点 ; 3 0 2 AC − B  时, P0 不是极值点; 4 0 2 AC − B = 时, P0 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 综上 , 有以下定理 : 定理 设函数 f (P) 在点 P0 的某邻域内有连续的二阶偏导数 , P0 是驻点 . 则 1 ( ) 0, ( )( 0 ) 0 2 f xx P0  f xx f yy − f xy P  时 , P0 为极小值点; 2 ( ) 0, ( )( 0 ) 0 2 f xx P0  f xx f yy − f xy P  时 , P0 为极大值点; 3 ( )( 0 ) 0 2 f xx f yy − f xy P  时 , P0 不是极值点; 4 ( )( 0 ) 0 2 f xx f yy − f xy P = 时 , P0 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 四、 函数的最值： 例 8 求函数 f (x, y) x 4xy 2y 10x 4y 2 2 = + − − + 在域 D = { (x, y) | x  0 , y  0 , x + y  4 } 上的最值 . 解 令    = − + = = + − = ( , ) 4 4 4 0. ( , ) 2 4 10 0, f x y x y f x y x y y x 解得驻点为 (1, 2 ) . f (1, 2 ) = −1. 在边界 x = 0 ( 0  y  4 ) 上 , f (0, y) 2y 4y 2 = − + , 驻点为 y = 1