个复平面C上解析根据 von neumann定理,当|A|>‖!A‖时, (-A)-| A|-‖A‖ 故 f(-A)-)k 1A|-‖A‖ F(η)在C上有界,根据 Liouville定理,F(λ)只能是常数,由式(5-1-7) 必有F(4)=0,Vλ∈C,特别地F(0)=0.以上分析对于任何 f∈B(X)成立 由于X是非0空间,B(X)是非零 Banach空间,从a(4=得 知0∈p(A),从而A-∈B(X).由Hahn- Banish定理,存在 f∈B(X)使得f()=4-|≠0.若F是与∫相应的解析函数,将 λ=0代入F(4)在0点的展开式便得到F(0)=-f(A-)≠0,这与 F(4)≡0矛盾.故(A)≠ 定义3称r(A)=max|A|为算子A的谱半径 A∈a(A 从几何观点看,r(A)就是复平面中以原点为中心,包含(A)的 最小圆盘的半径 定理7( Gelfand)设X为 Banach空间,则 r(A)=imⅦA (5-1-8) 证明1°首先我们证明右端极限存在并且等于infA"‖.为 简便计,令a=infⅦA"‖.显然地 imⅦA‖≥infⅦA"‖=a (5-1-9)10 个复平面 C 上解析.根据 von Neumann 定理，当 | | || || λ > A 时， | | || || 1 || ( ) || 1 A I A − − < − λ λ . 故 0 | | || || || || | (( ) ) | 1 → − − < − A f f I A λ λ ( ) λ → ∞ (5-1-7) F(λ)在 C 上有界，根据 Liouville 定理，F(λ)只能是常数. 由式(5-1-7) 必 有 F C ( ) 0, λ = ∀ ∈λ ，特别地 F(0) = 0 . 以上分析对于任何 * f ∈ Β(X ) 成立. 由于 X 是非 0 空间， Β(X )是非零 Banach 空间，从 σ ( ) A = ∅ 得 知 0∈ ρ(A) , 从 而 ( ) 1 A ∈ Β X − . 由 Hahn-Banish 定 理 , 存 在 * f ∈ Β(X ) 使得 ( ) || || 0 1 1 = ≠ − − f A A . 若 F 是与 f 相应的解析函数，将 λ = 0 代 入 F(λ) 在 0 点的展开式便得到 (0) ( ) 0 1 = − ≠ − F f A ，这与 F() 0 λ ≡ 矛盾. 故 σ ( ) A ≠ ∅ . 定义 3 称 ( ) max | | ( ) λ λ σ A r A ∈ = 为算子 A 的谱半径. 从几何观点看， r(A) 就是复平面中以原点为中心，包含 σ (A)的 最小圆盘的半径. 定理 7(Gelfand) 设 X 为 Banach 空间，则 n n n r(A) lim || A || →∞ = (5-1-8) 证明 D 1 首先我们证明右端极限存在并且等于 n n n inf || A || ≥1 . 为 简便计，令 n n n a inf || A || ≥1 = . 显然地 1 lim || || inf || || n n n n n n A A a →∞ ≥ ≥ = . (5-1-9)