(aI-A)B=lim(aI-A)B im(M-AC∑(-1)(40/-A)1(A-0)) im[(-0)+(-A) C(-1)(4l-4)-(x-)) in[-(-1)(2l-A)m(-40)]=1 同样地 B(I-A=lim B, (I-A)=I 由定理1(2)知,H-A是正则算子,A∈p(A) 2°由 von neumann定理,当‖A‖!A时,a-A是正则算子, 故(A)是平面C中的有界集,又a(A)=C\p(A)是闭集.所以(A) 是C中的紧集 定理6( Gelfand- Mazur)设X是非零 Banach空间,A∈B(X) 则G(A)≠ 证明注意∈p(4),f∈B(X),则F(4)=f(I-A)) 是复值函数.由定理5以及∫的连续性 F(4)=(B)=∑(-1)f(0l-4)1)-4)(51-6) 至少在|A-2k 时成立 于是,F(4)是p(A)中的解析函数,若σ(A)=⑧,则F(A)在整9 n n ( I − A)B = lim( I − A)B →∞ λ λ lim( )·( ( 1) ( ) ( ) ) 0 ( 1) 0 0 i i n i i n = λI − A − λ I − A λ − λ − + = →∞ ∑ lim[( ) ( )] 0 I 0 I A n = − + − →∞ λ λ λ · ( ( 1) ( ) ( ) ) 0 ( 1) 0 0 i i n i i − λ I − A λ − λ − + = ∑ I I A I n n n n = − − − − = + − + + →∞ lim[ ( 1) ( ) ( ) ] 1 0 ( 1) 0 1 λ λ λ . 同样地 B I A B I A I n n − = − = →∞ (λ ) lim (λ ) . 由定理 1(2)知， λI − A是正则算子， λ ∈ ρ(A) . D 2 由 von Neumann 定理，当 || || | | A < λ 时，λI − A是正则算子， 故 σ (A)是平面 C 中的有界集，又 σ (A) = C \ ρ(A) 是闭集. 所以 σ (A) 是 C 中的紧集. 定理 6( Gelfand-Mazur) 设 X 是非零 Banach 空间， A∈ Β(X ) ， 则 σ ( ) A ≠ ∅ . 证明 注意 ∀ ∈λ ρ( ) A ， * f ∈ Β(X ) ，则 ( ) (( ) ) −1 F λ = f λI − A 是复值函数. 由定理 5 以及 f 的连续性， F(λ) = f (B) i i i i ( 1) f (( I A) )( ) 0 ( 1) 0 0 = − λ − λ − λ − + ∞ = ∑ (5-1-6) 至少在 || ( ) || 1 | | 1 0 0 − − − < λ I A λ λ 时成立. 于是， F(λ) 是 ρ(A) 中的解析函数，若 σ ( ) A = ∅ ，则 F(λ)在整