的,A∈n(A) 3°齐次方程只有0解对应于算子AI-A是一一的.不是对于 每个y∈X有解对应于A-A不是到上的.故(3)成立 定理5设X是 Banach空间,A∈B(X).则 (1)p(A)是开集 (2)G(A)是紧集 证明1若λ∈p(4),A-A是正则算子.我们证明只要 l2-nok -A也是正则算子,即A∈p(4)从而 p(4)为开集 实际上,记O叫(41-A)‖12-4|,则0≤0<1,考虑序列 =∑(-1)(-A)(-10), 其中(2-A)-D=[(421-A)].若m>n,则 Bn-B‖=∑(-1)(2l-4)"(-)‖ i=n+1 ≤∑(-A)|r"(-2) =(4/-A∑0→0(m,n→∞) 所以{Bn}是B(X)中的 Cauchy序列.B(X)是 Banach空间,故存在 B∈B(X), lim B=B或者 B=∑(-1)(21-A)(2-1) (5-1-5) 现在 l(a-A)B-(-A)Bn‖s‖!-A‖B-B 所以8 一一的， (A) λ ∈σ p . D 3 齐次方程只有 0 解对应于算子 λI − A是一一的. 不是对于 每个 y X ∈ 有解对应于 λI − A不是到上的. 故(3)成立. 定理 5 设 X 是 Banach 空间， A∈ Β(X ) . 则 (1) ρ(A)是开集, (2) σ (A)是紧集. 证明 D 1 若 ( ) λ0 ∈ ρ A ， λ0 I − A是正则算子. 我们证明只要 || ( ) || 1 | | 1 0 0 − − − < λ I A λ λ ， λI − A 也是正则算子，即 λ ∈ ρ(A) . 从而 ρ(A) 为开集. 实际上, 记 || ( ) || 1 0 − θ = λ I − A | | λ − λ0 ，则 0 ≤ θ < 1，考虑序列 i i n i i Bn ( 1) ( I A) ( ) 0 ( 1) 0 0 = − λ − λ − λ − + = ∑ ， 其中 1 1 0 ( 1) 0 ( ) [( ) ] − + − + − = − i i λ I A λ I A . 若 m > n，则 ( 1) 0 0 1 || || || ( 1) ( ) ( ) || m i ii m n i n B B IA λ λλ − + = + −= − − − ∑ || ( ) || | ( ) | 0 1 1 1 0 i m i n i ≤ ∑ λ I − A λ − λ = + − + 1 0 1 || ( ) || 0 m i i n λ θ I A − = + =− → ∑ (m,n → ∞) 所以 { } Bn 是 Β(X )中的 Cauchy 序列. Β(X )是 Banach 空间，故存在 B ∈ Β(X ) ， Bn B n = →∞ lim 或者 i i i i B ( 1) ( I A) ( ) 0 ( 1) 0 0 = − λ − λ − λ − + ∞ = ∑ (5-1-5) 现在 || ( ) ( ) || A Bn λI − A B − λI − ≤ || || λI − A || || B B n − →∞ 所以