定理4设X是 Banach空间,A∈B(X) 1)A∈p(A)当且仅当非齐次方程 (l-A)x=y (5-1-3) 对于任何ν∈X的解存在,唯一.此时存在常数c>0使得 ‖x|cy‖,其中x是与y相应的(5-1-3)的解 (2)∈n(4)当且仅当齐次方程 (a-A)x=0 有非0解 (3)A∈a(A)∪a(A)当且仅当齐次方程(5-1-4)有唯一0解而相 应的非齐次方程(5-1-3)不是对于每个y∈X有解 证明1°4∈p(A),则(4-A)∈B(X)并且 (-A)(-A)=I,故 x=(-A)(-A)x=(4-A)y, 并且 x‖=(AI-A)ys‖(I-A)-1Ⅲy‖ 由于当y=0时x=0,故解是唯一的 反之,若所说的条件成立,当y=0时,x=0,即方程 (-A)x=0有唯一的0解或N(-A)x={0}M-A是一一映射, (/-A)存在,(-A)x=y对于每个y有解,故A-A是到上的, 由定理1(4)知a-A是正则算子,即∈p(A) 2°若A∈n(4),则石-A不可逆(不是一一的),于是存在 ,x2∈X ≠x (-A)x1=(/-A)x2 从而 (-A)(x1-x2)=0,x1-x2≠0.即齐次方程有非0解.反之若 x∈X,x≠0,(-A)x=0,但显然(-A)0=0,故A-A不是7 定理 4 设 X 是 Banach 空间， A∈ Β(X ) . (1) λ ∈ ρ(A) 当且仅当非齐次方程 ( ) λI − = Ax y (5-1-3) 对于任何 y X ∈ 的解存在，唯一 . 此时存在常数 c > 0 使 得 || || || || x ≤ c y ，其中 x 是与 y 相应的(5-1-3)的解. (2) (A) λ ∈σ p 当且仅当齐次方程 (λI − A)x = 0 (5-1-4) 有非 0 解. (3) () () λ ∈σ σ c r A A ∪ 当且仅当齐次方程(5-1-4)有唯一 0 解而相 应的非齐次方程(5-1-3)不是对于每个 y X ∈ 有解. 证 明 D 1 λ ∈ ρ(A) , 则 ( ) ( ) 1 I − A ∈ Β X − λ 并 且 I − A I − A = I − ( ) ( ) 1 λ λ ，故 1 1 x ( )( ) ( ) λλ λ I A I Ax I A y − − =− − =− ， 并且 1 1 || || || ( ) || || ( ) || x IAy IA λ λ − − =− ≤− || || y 由于当 y = 0时 x = 0，故解是唯一的. 反之，若所说的条件成立，当 y = 0 时 ， x = 0 ，即方程 (λI − A)x = 0有唯一的 0 解或 N(λI − A)x = {0}. λI − A是一一映射， 1 ( ) − λI − A 存在， ( ) λI − = Ax y 对于每个 y 有解，故 λI − A是到上的， 由定理 1(4)知 λI − A是正则算子，即 λ ∈ ρ(A) . D 2 若 (A) λ ∈σ p ， 则 λI − A 不可逆 (不是一一的 ),于是存在 x1 , x2 ∈ X ， 1 2 x ≠ x ， 1 2 (λI − A)x = (λI − A)x ，从而 ( )( ) 0 λI − A x1 − x2 = ， 0 x1 − x2 ≠ . 即齐次方程有非 0 解 . 反之若 x ∈ X ， x ≠ 0 ， (λI − A)x = 0，但显然 (λI − A)0 = 0 ，故 λI − A不是