第二十四讲 主函数(三 第11页 ★第四,厂->0=0->-40+S E=1 i=1 i=1 (,f-∑|| 因此,只要函数集{f,i=1,2,…}是完备的,那么,根据(#)式,就有 (,n=∑|n=∑|(,f) 这就是函数集{f,i=1,2,…}的完备性关系,亦称 Parseval方程 把函数集{f,i=1,2,…}的条件放宽,假设它是正交归一的,但不一定完备,仍然试图用这 个函数集的线性组合∑af(x)来逼近f(x).现在的问题是:如何选择组合系数a;(与n无关), 可以得到最佳逼近,使误差 -/a-S2 i=1 取极小?仿照 Parseval方程的证明,可以求得 f()-∑a()d=(,-∑(,-∑m(,)+∑ =(f,-∑-∑a+∑q ,f+∑2-c 因此,当a1=c≡(f1,f)时,误差一定取极小值 ,f-∑P≥0 而且,随着项数n的增加,误差越来越小.但无论如何,总有 (,f≥∑|l2 这正好是函数空间中的 Bessel不等式.等号对应于函数集是完备的情形 函数空间的完备性概念如果由空间内的函数组成的 Cauchy序列的极限仍保持在该 空间内,则称该空间为完备的 平方可积函数构成的空问是完备的 通常,把完备的內积空间称为 Hilbert空间.这个概念,在物理学中有广泛的应用.下 的讨论,实际上都是在 Hilbert空间的范围内进行的Wu Chong-shi ➞➟➠➡➢ (➤) ➥ ➦ ➧ (➨) ➩ 11 ➫ F ✏✉✥ Z b a   f(x) − Xn i=1 cifi(x)    2 dx = (f, f) − Xn i=1 c ∗ i (fi , f) − Xn i=1 ci(f, fi) +Xn i=1  ci   2 = (f, f) − Xn i=1  ci   2 , ♦➛✥ù✱ ➁✻→ {fi , i = 1, 2, · · ·} ✩✷▲ î ✥✠✡✥✈✇ (#) ❳ ✥ ➎ ● (f, f) = X∞ i=1  cn   2 = X∞ i=1  (fi , f)   2 . ❇ ➎ ✩ t✉❇ {fi , i = 1, 2, · · ·} ②❈❉✹①② ✥ ❀ × Parseval ➆③ ✛ ✐ ➁✻→ {fi , i = 1, 2, · · ·} î ♠♥④⑤✥⑥❼ ❍ ✩❅ ✸✹❆î ✥ì★❆ ❶✷▲✥ ➳⑦⑧⑨▼ ❇ ❚ ➁✻→î✾✿✶ ➣ P∞ i=1 aifi(x) ❂⑩❶ f(x) ✛▲❉î✣✤✩ ❙ ó❷❸❹✶ ➣❘✻ ai (❺ n ❀❁) ✥ ➔ ➯t❻✼❼⑩❶✥❽❾♥ f(x) − Xn i=1 aifi(x) 2 ≡ Z b a   f(x) − Xn i=1 aifi(x)    2 dx ø❿➀ ➁ ➂➃ Parseval ➓➄î➅ ➆✥ ➔ ➯✑t Z b a   f(x) − Xn i=1 aifi(x)    2 dx = (f, f) − Xn i=1 a ∗ i (fi , f) − Xn i=1 ai(f, fi) +Xn i=1  ai   2 = (f, f) − Xn i=1 a ∗ i ci − Xn i=1 aic ∗ i + Xn i=1 a ∗ i ai = (f, f) +Xn i=1  ai − ci   2 − Xn i=1 c ∗ i ci , ♦➛✥➇ ai = ci ≡ (fi , f) ➈ ✥❾ ♥❆❶ ø❿➀➀ ✥ (f, f) − Xn i=1  ci   2 ≥ 0, ✰➂✥➉ý➊ ✻ n î➋➍ ✥❾ ♥➌❂➌➀✛ ì ❀➍ ó❷✥■● (f, f) ≥ X∞ i=1  ci   2 . ❇❅➎✩ t✉✈✇➏② Bessel à➐➑ ✛ r➒↔ ❯ ↕ ➁✻→ ✩✷▲ î➓➔✛ t✉✈✇②❈❉✹❊❋ ✛→➣ ➻↔↕Ð❭✒✓➙❞❭ Cauchy ➛➜❭➝➞➟➠➡➘ ✯ ↔↕Ð ✥➢➤✯ ↔↕➷ ➥➦❭✛ ✃❣❐➪✒✓➧❞❭ ↔↕✭ ➥➦❭✛ ➨➩✥➫ ➥➦❭ Ð➪ ↔↕➤➷ Hilbert ↔↕✛✛➭➯➲✥ ➘➳➵ ➸❜ ❫ ✙➺❭ ★➻✛➼ ➽ ❭➾➚✥➪➶➹➘✭➘ Hilbert ↔↕❭ ➴➷Ð ✖➬❭✛