§243内积空间与函数空间 第10页 6.函数的正交归一性 若函数f(x)和g(x)满足 (f,g)≡/f(x)g(x)dx=0 则称它们是(在区间[a,b上)正交的.若函数f(x)和它自身的内积 f,n≡/r(x)f(x)dx=1,亦即f=1 则称f(x)是归一化的.而若对于函数集合{f},恒有 f1,f)≡/f(x)f(x)dx=6 则称此函数集合是正交归一的 例243函数集合{e/V2元,n=0,1,±2,…}在区间上-兀,上是正交归 7.正交归一函数集的完备性概念 如果对于(函数空间中的)任意函数f(x),总可以表示成正交归一函数集{f1,i=1,2,…}的 线性组合 则称正交归一函数集{f,i=1,2,…}是完备的 正交归一函数集的完备性概念总是和任意函数是否可以按该函数集展开相联系的 ★第一,一般说来,这个函数集应该含有无穷多个函数,否则(以)式不可能对任意f(x)均成立 这一事实告诉我们,函数空间是无穷维的矢量空间 ★第二,(式应该对区间[a,列内的每一点x都成立,或者说,对于区间[a,列内的每一点x 级数∑cf(x)都应该收敛于f(x).这种收敛性称为逐点收敛 ★为了和广义零函数的概念相适应,也可以把()式理解为左右两端相差一个广义的零函数, 换句话说,把级数∑cf(x)理解为平均收敛于f(x),即 /()-o=0 ★第三,由函数集{f,i=1,2,…}的正交归一性,可求得 e=/.f()(x)dx=(,f (⑧)Wu Chong-shi §24.3 ✰ ✱✲✳✴➦➧✲✳ ➩ 10 ➫ 6. t✉②✵✶✷✸✹ ✺ ➁✻ f(x) ➌ g(x) ✼✽ (f, g) ≡ Z b a f ∗ (x)g(x)dx = 0, õ× ❍✐✩ (❉ ❸✗ [a, b] ❾)✵✶ î✛✺ ➁✻ f(x) ➌❍ ✾ ✿ î ❊❋ (f, f) ≡ Z b a f ∗ (x)f(x)dx = 1, ❀❁ kfk = 1, õ× f(x) ✩ ✷✸❂ î✛✰✺↔↕➁✻→➣ {fi} ✥❃● (fi , fj ) ≡ Z b a f ∗ i (x)fj (x)dx = δij , õ×➛➁✻→➣✩ ✵✶✷✸ î✛ ❄ 24.3 ➁✻→➣  e inx/ √ 2π, n = 0, ±1, ±2, · · · ❉ ❸✗ [−π, π] ❾ ✩❅ ✸✹❆î✛ 7. ✵✶✷✸t✉❇②❈❉✹❊❋ óô↔↕ (➁✻✮ ✗ ✎î) ●❍➁✻ f(x) ✥■ ➔ ➯❏❑➝❅ ✸✹❆➁✻→ {fi , i = 1, 2, · · ·} î ✾✿✶ ➣ f(x) = X∞ i=1 cifi(x), (z) õ×❅ ✸✹❆➁✻→ {fi , i = 1, 2, · · ·} ✩✷▲ î✛ ❅ ✸✹❆➁✻→î✷▲ ✿✂✄■✩ ➌●❍➁✻ ✩■➔ ➯▼◆➁✻→❖P✙◗❘î✛ F ✏❆✥ ❆❙⑩ ❂ ✥❇❚ ➁✻→❯ ◆ü● ❀❱❲❚ ➁✻ ✥■õ (z) ❳ ★ ➔ ú↔ ●❍ f(x) ❨ ➝❆ ✛ ❇ ❆é✜❩❬❭✐ ✥ ➁✻✮ ✗✩❀❱✘î✭❪ ✮ ✗ ✛ F ✏❫✥ (z) ❳❯◆↔❸✗ [a, b] ❊î❴❆ë x ❥ ➝❆✥❵❛⑩✥↔↕❸✗ [a, b] ❊î❴❆ë x ✥ ❜ ✻ P∞ i=1 cifi(x) ❥❯ ◆❝❞↕ f(x) ✛ ❇❡❝❞✿ × ❹❢ë ❝❞✛ F ❹❣➌✁ ❷ ÷➁✻î✂✄✙❤❯✥♣➔ ➯✐ (z) ❳✍❥❹❦❧➏♠ ✙♥❆❚ ✁ ❷ î÷➁✻ ✥ ♦♣q⑩✥✐❜ ✻ P∞ i=1 cifi(x) ✍❥❹➒❨ ❝❞↕ f(x) ✥ ❁ limn→∞ Z b a   f(x) − Xn i=1 cifi(x)    2 dx = 0. (#) F ✏r✥s ➁✻→ {fi , i = 1, 2, · · ·} î ❅ ✸✹❆✿ ✥ ➔ ✑t ci = Z b a f ∗ i (x)f(x)dx = (fi , f). (~)