第二十四讲 主函数(三 第9页 所以什两值平方可空函问之和仍下平方可空遍什 f(x)+f(x)≤2[f(x)2+|f2(x)2 5.函数的内积 定义24设A()和1()下面函问按追两值函问什与遍称空 (f1,f2)=/f1(x)f2(x)d 概 f(x)|2+|f(x)|2-2f(x)|(x)=[(x)-|( 因此 f(x)(x)=|(x)|2(x)≤(x)2+(x) 所以积分/|f(x)()d存在,又因为 f(r)f2(a)dxs/If (z)f2(z).z, 所以什只要f1(x)和f2(x)平可积什那么它们选内积也一定存在 内此础上什可以定义函问f(x)遍“长度” ‖f=(f,f)/2, 称为函问∫(x)遍范数 下素在这样的阁积定义下什如果(,=0什f()并不见得在整个区间上处处为0换事 1什?x)可以内限值点上件为0什但些件为0的函问值条件会影响空值什所以仍可 (f,f)=0 ★准确地说什如果(f,∫)=0什则f(x)可以内测度为零的点集上取积零值所以只能说(f,f)=0 隐含着∫(x)几乎处处为0 换 ★如果采间广义的零函问的概念什把任何几乎处处为0的函数称为零函数什那么什“里定义的 积空也就符合积空公理中的第3易求 函数内积选定义还可以进一步推广为 (f1,f2)=/f1(x)f2(x)p(x)dx p(x)20矢≠0这样什美公小均需要作相应选修改特别是什关函数平可 要求也应该修改为要求积分内 )|2p()dr 存在Wu Chong-shi ➞➟➠➡➢ (➤) ➥ ➦ ➧ (➨) ➩ 9 ➫ ➭➯✥➏✒➒➓➔❋➁✓➲➌➳✩ ➒➓➔❋✌✥  f1(x) + f2(x)   2 ≤ 2 |f1(x)| 2 + |f2(x)| 2 . 5. t✉②➵➈ ➸➺ 24.4 ❼ f1(x) ➌ f2(x) ✩ ➁✓✮✗ ✑✌ ➏ ✒➁✓✥ ❍✐✌ ❊❋✩ (f1, f2) = Z b a f ∗ 1 (x)f2(x)dx. ➻ ❨  f1(x)   2 +  f2(x)   2 − 2  f1(x)   ·  f2(x)   = |f1(x)| − |f2(x)| 2 ≥ 0, ➼➽  f ∗ 1 (x)f2(x)   =  f1(x)   ·  f2(x)   ≤ 1 2 |f1(x)| 2 + |f2(x)| 2 , ➾ ➚➪➶ Z b a  f ∗ 1 (x)f2(x)  dx ➹➘✛➴ ➼➷    Z b a f ∗ 1 (x)f2(x)dx    ≤ Z b a  f ∗ 1 (x)f2(x)  dx, ➾ ➚✥➬➮ f1(x) ➱ f2(x) ✃❣❐➪✥❒ ❮❰Ï❭ Ð➪ÑÒÓ➹➘✛ ❉ ➛❈Ô❾ ✥ ➔ ➯❶❷➁✓ f(x) ✌ ➄ ÕÖ➉ kfk = (f, f) 1/2 , × ❹➁✓ f(x) ✌ Ø✉ ✛ F ✣✤✩ ❙ ÙÚÛ②➵➈➸➺Ü✥ÝÞ (f, f) = 0 ✥ f(x) ßàáâÙãäå✇æççè 0 ✛é ✜ ✩✥ f(x) ➔ ➯ ❉ ●ê✒ë❾★ ❹ 0 ✥ì❇í★❹ 0 î➁✓➀✧★ïðñ❋❧➀✥➭➯➳➔ ➯● (f, f) = 0 ✛ F ò ⑦⑨⑩✥óô (f, f) = 0 ✥õ f(x) ➔ ➯ ❉öÖ ❹÷îë→❾ø❏÷➀✛➭➯ùú⑩ (f, f) = 0 ûüý f(x)þÿççè 0 ✛ F óô￾ ▼✁ ❷ î÷➁✓î✂✄✥ ☎✆✝þÿççè 0 ②t✉✞è✟t✉ ✥✠✡✥❇☛❶❷î ❊❋♣ ➎☞➣ ❊❋✌✍ ✎î✏ 3 ♠✱✑ ✛ ✒✓ Ð ➪ ❭ Ó✔✕❐ ➚✖Ò ✗✘ ✙➷ (f1, f2) = Z b a f ∗ 1 (x) f2(x) ρ(x) dx, ✚ ❜ ρ(x) ≥ 0 ❯ 6≡ 0 ✛✛✜✥❫ ✢✣❛✤✥➮✦✧★❭✩✪✛✫✬✭✥✢ ❨ ✒✓✃❣❐ ➪ ❭ ➮✮Ñ★✯✩✪➷➮✮➪➶ Z b a  f(x)   2 ρ(x) dx ➹➘✛