定义:对于环[R;+,],对任意a,b,c∈R,a≠0, 当a米b=a*c,必有b=c,则称环满足消去律。 ◆定理:[R;+,*是无零因子环当且仅当[R;+,*] 满足消去律。 证明:1.[R;+,*]是无零因子环,要导出[R;+,*]满足消 去律即对任意a,b,c∈R,a≠0,当a=a*,必有b=c 因为0=(a*b)+((a米b))=(a*b)+(-(a米C) (a*b)+(a*(-c)=a*(b+(-c)) 这里利用了定理1412)a*(b)=(-a)*=-(a*b) 因为是无零因子环,且a≠0,所以有b+(-c)=0,因此b=c 2.[R;+,*]满足消去律,导出[R;+,*]是无零因子环 若存在a,b∈R,a≠0,b≠:0,而a+b=0,则a*b=a*0 因为a≠0,所以由消去律得b=0,矛盾❖ 定义：对于环[R;+,*]，对任意a,b,cR,a0, 当a*b=a*c,必有b=c，则称环满足消去律。 ❖ 定理：[R;+,*]是无零因子环当且仅当[R;+,*] 满足消去律。 证明:1.[R;+,*]是无零因子环,要导出[R;+,*]满足消 去律.即对任意a,b,cR,a0,当a*b=a*c,必有b=c. 因为0=(a*b)+(-(a*b))=(a*b)+(-(a*c)) =(a*b)+(a*(-c))=a*(b+(-c)) 这里利用了定理14.1(2)a*(-b)=(-a)*b=-(a*b) 因为是无零因子环,且a0,所以有b+(-c)=0,因此b=c. 2.[R;+,*]满足消去律,导出[R;+,*]是无零因子环. 若存在a,bR,a0,b0,而a*b=0,则a*b=a*0, 因为a0,所以由消去律得b=0,矛盾