Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU Chapter5定积分计算 Abstracts:留数定理及其应用—一定积分、积分主值 、留数定理和留数的求法( Residue theorem and residue calculations 1.留数的定义:设z0是函数f()的孤立奇点( (isolated singularity),即除过 z==0点以外函数f(-)是解析的,则f(=)在〓0的留数定义为 Res(=)=∮f()d,其中c为绕=的闭曲线(f积分沿正方向进 行)且内部无其它奇点,记号为Res()=或Res(=) (1)有限远孤立奇点的留数:f(-)在=0邻域(0<-<)内(不含 其它奇点)的罗朗级数( Laurent series)展开的-1次幂项(z-z0)的 系数a,称为/(=)在奇点的留数。即Re()=2079/( 2d2=a 此定义基于如下的事实: )=∑4(-y,其中4=2m:3y4 令函数f()沿以孤立奇点二0为中心的一个圆周c积分 f()d=5∑a-=)d=∑fa(=-=)d, 而∮(z )d/2mi(k=-1) 0 (k≠-1所以∮f()d=27a 可见,级数中仅仅a1(=-=0)项对积分有贡献,积分后唯有a这个系 数留下来,故名之为留数( residue) (2)无穷远点的留数:f()在以=0=0为中心,环R<|<∞内(不含 其它奇点)的罗朗级数展开的-1次幂项(z-=)的系数a1的反号称为 (在点的留数。即Rey()=1/()=a1(此定义直观Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 5 定积分计算 Abstracts:留数定理及其应用——定积分、积分主值 一、留数定理和留数的求法(Residue theorem and residue calculations) 1．留数的定义：设 0 z 是函数 f (z) 的孤立奇点(isolated singularity)，即除过 0 z z  点 以 外 函 数 f (z) 是 解 析 的 ， 则 f (z) 在 0 z 的 留 数 定 义 为 0   1 Res ( ) d 2 c f z f z z i   ，其中 c 为绕 0 z 的闭曲线（ c 积分沿正方向进 行）且内部无其它奇点，记号为 0 Res ( ) z z f z  或 Res ( ) 0 f z . （1）有限远孤立奇点的留数： f (z) 在 0 z 邻域 (0 ) 0  z  z  r 内（不含 其它奇点）的罗朗级数（Laurent series）展开的 1 次幂项 1 0 ( )  z  z 的 系数 a1 称为 f (z) 在奇点 0 z 的留数。即 0 1   1 Res ( ) d 2 c f z f z z a i     . 此定义基于如下的事实：        k k k f z a z z0 ( ) ，其中 1 0 1 ( ) d 2 ( ) k k c f z a z i z z     . 令函数 f (z) 沿以孤立奇点 0 z 为中心的一个圆周 c 积分                  k c k k c k k k c f (z)dz a z z dz a z z dz 0 0 ， 而  0  2 ( 1) d 0 ( 1), k c i k z z z k            所以 1 ( )d 2 c  f z z ia    . 可见，级数中仅仅   1 1 0  a z  z 项对积分有贡献，积分后唯有 a1 这个系 数留下来，故名之为留数(residue). （2）无穷远点的留数： f (z) 在以 z0  0 为中心，环 R  z   内（不含 其它奇点）的罗朗级数展开的1 次幂项 1 0 ( )  z  z 的系数 a1 的反号称为 f (z) 在  点的留数。即   1 1 Res ( ) d 2 c f f z z a i       （此定义直观）