Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU 这是因为:对于无穷远点,以=∞为展开中心、在区域R<|<∞ 里展开的罗朗级数与以=0=0为中心、在区域R<1<∞展开的罗朗级 数有相同的形式:f()=∑a2.换言之,以=0为中心、在区域 ke-on R<|-b<∞展开罗朗级数亦可,其中b任意(实际为=∞的邻域)。 ( Chapter 1:无穷远点只有一个,其模+∞,而幅角不定)。 同时注意到,对无穷远点的邻域来讲,cB的正方向为顺时针方向。因此, ∮(∮∑4==∑∮42=∑∮a=d=-2zin clockwise clockwise clockwise counter clockwise 2.留数定理:如果f(=)在区域D中有n个孤立奇点1,2,…,n,而除 了这些奇点外,∫(=)是解析的,那么 ∮/()+∮/(+…+∮( =2ri[Resf(=1)+Resf(=2)+.+Resf(=) =2x∑Resf(-k) 其中c1,c2…cn分别是围绕奇点1,-2,…,〓n的小圆周(反方向,与外界l同 方向),再根据复连通域的柯西定理( Cauchy' s theorem),可以得到 ∮/(=∑∮/()d=2n2Resf() l是区域D的外境界线,也可以是境界线之内的任一条闭合曲线,只要它 包围n个孤立奇点并且沿确定(正)方向围绕奇点一圈。这就是留数定理。 [留数定理]:如果函数f()在闭曲线l所围的区域内,除具有有限个孤立 奇点( isolated singularities)z=A(k=1,2,…,n)外是解析的,在上也是解析 的,则f(=)沿l的回路积分(逆时针方向)等于f()在1内所有奇点的留 数之和的27倍,即∮(=2m∑Res(e)Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 2 这是因为：对于无穷远点，以 z   为展开中心、在区域 R  z   里展开的罗朗级数与以 z0  0 为中心、在区域 R  z   展开的罗朗级 数有相同的形式: ( ) . k k k f z a z     换言之，以 z0  0 为中心、在区域 R z b     展开罗朗级数亦可，其中 b 任意（实际为 z   的邻域）。 (Chapter 1:无穷远点只有一个，其模   ，而幅角不定)。 同时注意到，对无穷远点的邻域来讲, R c 的正方向为顺时针方向。因此， 1 ( )d d d d 2 . clockwise clockwise clockwise counter clockwise R R R R k k k k k k c c c k k k c f z z a z z a z z a z z ia                       2． 留数定理：如果 f (z) 在区域 D 中有 n 个孤立奇点 n z ,z , ,z 1 2  ，而除 了这些奇点外， f (z) 是解析的，那么 其中 n c , c , , c 1 2  分别是围绕奇点 n z ,z , ,z 1 2  的小圆周(反方向, 与外界 l 同 方向)，再根据复连通域的柯西定理（Cauchy’s theorem），可以得到 1 1 ( )d ( )d 2 Res ( ) k n n k k k l c f z z f z z i f z          , l 是区域 D 的外境界线，也可以是境界线之内的任一条闭合曲线，只要它 包围 n 个孤立奇点并且沿确定(正)方向围绕奇点一圈。这就是留数定理。 [留数定理]：如果函数 f (z) 在闭曲线 l 所围的区域内，除具有有限个孤立 奇点(isolated singularities) ( 1,2, , ) k z z k n   外是解析的，在 l 上也是解析 的，则 f (z) 沿 l 的回路积分（逆时针方向）等于 f (z) 在 l 内所有奇点的留 数之和的 2i 倍，即 1 ( )d 2 Res ( ). n k l k f z z i f z        1 2 1 2 1 ( )d ( )d ( )d 2 Res ( ) Res ( ) Res ( ) 2 Res ( ), n c c c n n k k f z z f z z f z z i f z f z f z i f z               