6.10) Chapter 5 Calculations on definite integral YLMa@Phys. FDU 2.留数定理的推论:若f(=)在闭复平面内(包括无穷远点)除有限个孤立奇点 外处处解析,则f(=)在全平面上全部留数之和为零(挖去所有奇点并且计及 无穷远点):∑Resf()=∑Resf()+Resy(a)=0 =1(=k<∞) 说明 *留数定理表明了解析函数沿闭曲线的积分与它的孤立奇点之间的关系, 体现了解析点与奇点的内在联系。这是解析函数在不同点取值之间的相互关 联这个性质的又一表现,即它是单(复)通域 Cauchy定理的推广(变形)。 * Laurent series I的负幂次由有限内环r内的奇异性引起,其积分方向为∮ Laurent series的正幂次由有限内环r以外(即外环R以外甚至直接至∞)的奇 异性引起,其积分方向为 *二=∞可以是函数f()的奇点亦可以不是奇点,只要存在-a1它就是无 穷远点的留数Resf(∞) 3.留数的求法( Residue calculations) (定义是定义,定理是定理,计算留数是另一回事) (1)罗朗级数法:一般地,对于本性奇点,例如f(=)中含指数函数、三角函 数(e,sinx…)等,虽然极点是高阶的,罗朗级数展开有无穷多项,但 是我们仅仅需要与a_1相关的项即可,这样往往比较简单。 (2)可去奇点:若b是f(=)的可去奇点(b≠∞),limf()有限,则Resf(b)=0 注意:即使∞点是f(x)的可去奇点,其留数也不一定为0,除非f()在 切有限远点的留数之和为0.例如,f(=)=1+1/=, Resf(∞)=-1,Resf(0=1 (3)高阶极点( Multiple pole, high order pole):若b是f(=)的m(m≥1)阶极点, 即f()=∑a(=-b)(a-m≠0),Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 3 2． 留数定理的推论：若 f (z) 在闭复平面内(包括无穷远点)除有限个孤立奇点 外处处解析，则 f (z) 在全平面上全部留数之和为零（挖去所有奇点并且计及 无穷远点）： 1( ) Res ( ) Res ( ) Res ( ) 0. k n k k z f z f z f         说明： * 留数定理表明了解析函数沿闭曲线的积分与它的孤立奇点之间的关系， 体现了解析点与奇点的内在联系。这是解析函数在不同点取值之间的相互关 联这个性质的又一表现，即它是单(复)通域 Cauchy 定理的推广(变形)。 ** Laurent series 的负幂次由有限内环 r 内的奇异性引起，其积分方向为 ; r Laurent series 的正幂次由有限内环 r 以外(即外环 R 以外甚至直接至  )的奇 异性引起，其积分方向为  R . *** z  可以是函数 f (z) 的奇点亦可以不是奇点，只要存在 1 a ,   它就是无 穷远点的留数 Res ( ). f  3．留数的求法（Residue calculations） (定义是定义，定理是定理，计算留数是另一回事)。 (1) 罗朗级数法: 一般地，对于本性奇点，例如 f (z) 中含指数函数、三角函 数（ e z ,sin z,  ）等，虽然极点是高阶的，罗朗级数展开有无穷多项，但 是我们仅仅需要与 a1 相关的项即可，这样往往比较简单。 (2)可去奇点：若 b 是 f (z) 的可去奇点( b   ), lim ( ) z b f z  有限, 则 Res ( ) 0. f b  注意：即使  点是 f (z) 的可去奇点，其留数也不一定为 0 ，除非 f (z) 在 一切有限远点的留数之和为 0 . 例如， f (z) 11/ z, Resf ()  1, Resf (0) 1. (3)高阶极点(Multiple pole，high order pole)：若 b 是 f (z) 的 m (m 1) 阶极点， 即 ( )     (  0)     m k m k f z ak z b a