6.10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU Rest(b) =-b)f( [证明]:如果z=b是f(=)的m阶极点,则在这点的邻域内罗朗级数是 f(-)=-am ∑a(=-b)(a-m≠0) (=-b)·f(-)=am+am1(z-b)+…+a1(z-b)+ dm-1 (=-b) =∑(k+m)(k+m-1)(k+2)a(=-b) 取极限二→b后右端只留下k=-1项,即(m-1)a1所以 Resf(6)=a=7- lim d-[e-b) reI (4)单阶极点( Simple pole当m=1时,b为单极点Resf(b)=lm(=-b)/() 特别地,如果f()可以写成的形式,其中Px)和Q()均在b点解 2 析,而且z=b为Q()的一阶零点,即Q()=0,Q()≠0,P(=)≠0,那么 Ry(b=-b)/(=l(-b)|=mnP)=P(b 0):9(-)-qbg(b) c-b (5)根据定义:Re9(b)=/()d,其中c为绕z=b一圈的闭曲线且 其内部无其它奇点,积分沿正(沿奇点的反)方向进行。 5.例题( Examples) Example 1.求函数f()=在z=0,z=1,z=∞点的留数。 [解]z=0,1∞分别是本性奇点,一阶奇点和一阶零点Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 4 则   z b f z m z f b m m m z b       1 1 d d lim 1! 1 Res ( ) . [证明]: 如果 z  b 是 f (z) 的 m 阶极点，则在这点的邻域内罗朗级数是     ( )   ( 0) 1 1                 m k m k m k m m m a z b a z b a z b a f z  ,       1 1 1 ( ) , m m m m z b f z a a z b a z b                          1 1 1 1 1 1 d d ( ) d d 1 2 . m m m k m m m k k m k k k z b f z a z b z z k m k m k a z b                                取极限 z b 后右端只留下 k  1 项，即   1 1! m  a . 所以   z b f z m z f b a m m m z b         1 1 1 d d lim 1! 1 Res ( ) . (4) 单阶极点(Simple pole): 当 m 1 时,b 为单极点 f b z bf z z b    Res ( ) lim . 特别地，如果 f (z) 可以写成 ( ) ( ) Q z P z 的形式，其中 P z( ) 和 Q z( ) 均在 b 点解 析，而且 z b  为 Q z( ) 的一阶零点，即 Q z( ) 0,  Q z P z '( ) 0, ( ) 0,   那么       '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) Res ( ) lim lim Q b P b z b Q z Q b P z Q z P z f b z b f z z b z b z b z b                 . （5）根据定义：   1 Res ( ) d 2 c f b f z z i   ，其中 c 为绕 z  b 一圈的闭曲线且 其内部无其它奇点，积分 c 沿正(沿奇点的反)方向进行。 5. 例题（Examples） Example 1. 求函数 z e f z z   1 ( ) 1 在 z  0， z 1， z   点的留数。 [解] z   0,1, 分别是本性奇点，一阶奇点和一阶零点