§223 Bessel函数的渐近展开 第6页 8223 Bessel函数的渐近展开 Bessel函数的渐近展开有两种基本类型.一种适用于x→0, J(x)= 这可以直接由 Bessel函数的级数表达式得到.另一种渐近展开适用于x→∞ Jv(a) VT 7 2-4 这个公式的推导通常要用到任意阶 Bessel函数的积分表示,还要用到一种特殊的技巧(鞍点法,或 称最陡下降法)·严格的推导可见参考书目3]的第7章.在参考书目门中也给出了整数阶 Bessel 函数渐近晨开的证明 x→0,Re>0时,N,(x)的渐近行为由J-(x)决定 T(v) 而对于N0(x),可由 冷Jn(a)ln2 k=0 2k+n k!(k+n)! Gn+k+1+(k+1](2 直接得到 (x) 所以,不论v是否为整数,Nn(x)在x=0点都是发散的 还可以证明,当x→∞时, Neumann函数的渐近表达式是 argr|<丌Wu Chong-shi §22.3 Bessel rsá✙✚✛✜ ✉ 6 ✈ §22.3 Bessel ❀❁æ✢✣✤✥ Bessel ❻❘❚✦✧★✩❅❆➲ ❼❽➑➒✫❴ ➲✪➌ñ x→0 ✖ Jν(x) = 1 Γ (ν + 1) x 2 ν + O ￾ x ν+2
. ❪ ❜➀íî ❾ Bessel ❻❘❚❺ ❘❧♠♥ûü✫✫❴ ➲ ✦✧★✩✪➌ñ x → ∞ ✖ Jν(x) ∼ r 2 πx cos  x − νπ 2 − π 4  , |arg x| < π. ❪ ❇✬♥❚➁✞✭✮➼➌ü❰Ïÿ Bessel ❻❘❚➓➔❧➭✖➍➼➌ü❴➲✁✯❚✰✱ (✲❉ ➵ ✖ù ☞✳✴➉✵➵ ) ✫✶✷❚➁✞❜ ❹✸✖✹ ✺ [3] ❚❫ 7 ✻✫▲✸✖✹ ✺ [1] ♦ Ú ①②③◗❘ÿ Bessel ❻❘✦✧★✩❚ ✃ ❐✫ P x → 0, Re ν > 0 ❙✖ Nν (x) ❚✦✧✼❞ ❾ J−ν(x) ✽ ❤ ✖ Nν (x) ∼ − Γ (ν) π x 2 −ν . ➷✾ñ N0(x) ✖❜ ❾ Nn(x) = 2 π Jn(x) ln x 2 − 1 π nX−1 k=0 (n − k − 1)! k! x 2 2k−n − 1 π X∞ k=0 (−) k k! (k + n)! ψ(n + k + 1)+ψ(k + 1) x 2 2k+n , íîûü N0(x) ∼ 2 π ln x 2 . ô➀✖✿❀ ν ❍❁❞◗❘✖ Nν (x) ▲ x = 0 ❉❂❍ð❃❚✫ ➍❜➀✃ ❐✖ P x → ∞ ❙✖ Neumann ❻❘❚✦✧❧♠♥❍ Nν (x) ∼ r 2 πx sin  x − νπ 2 − π 4  , |arg x| < π.