第二十三讲柱数( 第7页 22.4整数有 Bessel函数的两个函数和积点表示 Bessel方程 y(x)=0 中的v2≡μ,通常是由本征是问题 更+pφ=0 中(0)=更(2),更(0)=更(27) 决定的,μ=m2,m=0,1,2,…,因此,本节特别介绍整数阶 Bessel函数特有的性质 1.Jn(x)的在成函数展开当(见第7整例74) exp (-)-∑1 Jn(x)t2,0<|<∞ 数时 2.Jn(x)的积分 Jn(a)=/ cos(ar sin e-me)de 证在 Bessel函数的的成函数展开式中令t=e,就得 这就是函数esn°的傅里叶展开式(复数形式).于是,由傅里叶展开的系数公式,就能证得 Jn(r), 在右端积分的被积函数中,、部是奇函数,积分为0,所以就证得Jn(x)的积分表示.口 Jn(x)的积分表示,也可以用来计算含Besd函数的积分,例如对于例21中的积分,有 Jo(br) ibr sin e de dr 用弟数定理计算这个积分 z|=1 就本题而言,这种做法要一代入 Bessel函数的级数表达式更容易些,因为现在的计算可骤明 不像级数求和更具有技巧性这种做法的.一个好处是不需、解析延拓Wu Chong-shi ➠➡➢➡➤ ➥ r s (➦) ✉ 7 ✈ §22.4 ❄❁❅ Bessel ❀❁æ❆❇❀❁❂❈❉❊❋ Bessel ❃❄ 1 x d dx  x dy(x) dx  +  1 − ν 2 x 2  y(x) = 0 ♦❚ ν 2 ≡ µ ✖✭✮❍ ❾❽●❍■➴ Φ 00 + µΦ = 0, Φ(0) = Φ(2π), Φ0 (0) = Φ 0 (2π) ✽ ❤ ❚✖ µ = m2 , m = 0, 1, 2, · · · ✫Ö ❿✖❽➊✁✂❏❑◗❘ÿ Bessel ❻❘✁ ❅❚❱➅✫ 1. Jn(x) ➝▲▼↔↕◆❖P(❹ ❫ 7 ◗➆ 7.4) exp  x 2  t − 1 t  = X∞ n=−∞ Jn(x)t n , 0 < |t| < ∞. 2. Jn(x) ➝➣➟❘❙ Jn(x) = 1 π Z π 0 cos(x sin θ − nθ)dθ. ë ▲ Bessel ❻❘❚❚❯❻❘★✩♥ ♦✄ t = eiθ ✖➹ûü e ix sin θ = X∞ n=−∞ Jn(x)einθ . ❪ ➹❍❻❘ e ix sin θ ❚❱❲❳★✩♥ (❨❘ ⑩ ♥) ✫ñ❍✖❾❱❲❳★✩❚➈❘✬♥✖➹☎ ✃ û Jn(x), = 1 2π Z π −π e ix sin θ ￾ e inθ
∗ dθ = 1 2π Z π −π [cos(x sin θ − nθ) + i sin(x sin θ − nθ)] dθ. ▲❩❬➓➔❚❭➓❻❘ ♦✖❪✔❍❈❻❘✖➓➔❞ 0 ✖ô➀➹✃ û Jn(x) ❚➓➔❧➭✫ Jn(x) ❚➓➔❧➭✖Ú ❜➀➌❮ ➎➏✎ Bessel ❻❘❚➓➔✫➆ ❩ ✾ñ➆ 22.1 ♦❚➓➔✖❅ Z ∞ 0 e −axJ0(bx)dx = Z ∞ 0 e −ax  1 2π Z π −π e ibx sin θdθ  dx = 1 2π Z π −π dθ Z ∞ 0 e −(a−ib sin θ)xdx = 1 2π Z π −π dθ a − ib sin θ . ➌ ❫❘ ❤à ➎➏❪ ❇➓➔✖ Z ∞ 0 e −axJ0(bx)dx = 1 2π i I |z|=1 2dz −bz2 + 2az + b = 1 −bz + a    z=(a− √ a2+b 2)/b = 1 √ a 2 + b 2 . ➹❽➴➷➬✖❪➲➳➵➼ ❴ ➩➫ Bessel ❻❘❚❺ ❘❧♠♥❵ ➮➱➂✖Ö ❞❛ ▲ ❚➎➏❜❝ ❐❞ ✖ ✿❡❺ ❘➺❋❵❢❅✰✱❱✫❪➲➳➵❚✫❴❇❣▼❍✿✐❤❨ØÞß✫