例9设f(x)在区间[a,b上连续,且f(x)>0 证明「f(x)do Lx ≥(b-a)2 f(r) 证作辅助函数F()=』roCm-(x-oy, 1 F(x)=∫(x) dt+f(t)dt 2(x-a) f(t) f(r) dt+ dt-2dt ∫(t) (x)>0./(x)+/(022甲F(x)=.(2+1(0-2M0 所以(x)单调增加又∵F(a)=0,:F()2F(a)=0, b b dx 即「f(x)dxc ≥(b-a)2 f(x) 高等数学(XJD) ▲u高等数学（XJD） ( ) . ( ) ( ) ( ) [ , ] ( ) 0. 2 b a f x dx f x dx f x a b f x b a b a   −  证明   设 在区间 上连续，且 证 作辅助函数 ( ) , ( ) ( ) ( ) 2 x a f t dt F x f t dt x a x a = − −   2( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) x a f x dt f t dt f t F x f x x a x a  = +  − −    2 , ( ) ( ) ( ) ( )    = + − x a x a x a dt dt f x f t dt f t f x 例9 2) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( + −   dt f x f t f t f x F x x a 2 即 ( ) ( ) ( ) ( )  +  f x f t f t f x  f (x)  0, 所以F(x) 单调增加. 又F(a) = 0, F(b)  F(a) = 0, ( ) . ( ) ( ) 2 b a f x dx f x dx b a b a   − 即  