《数学分析(1,2,3)》教案 av 注:它是一个向量,是由数量场∫产生的向量。 gradf的性质 设f,g可微,则 (1)grad(∫+g)= gradf+ grade:grad(qf)=c· gradf(c是常数) (2)grad(∫·g)= f grade+ g gradf;(3)grad()= f·grad(O)- g gradf (g≠0) g (4)grad(o((x,y:)=q(u)x2grad(x,y.)(o在n=(x)可微) 例:设在空间原点处有一个点电荷q,在真空中产生一个静电场,在空间任一点(xy,=)处的电位是 grad=-9 4、 gradu的意义 gradu的方向表示数量场u沿此方向的方向导数达到最大; gradu的根长就是这个最大的方向导数 例:求数量函数u=x2+xy2在(11,1)的梯度及其大小 §7泰勒公式 定理1设函数f(xy)在点(xy)内对x及y具有直到n+1阶连续偏导数。对D内任意一点(x,y), 设△x=x-x,4y=y-y,则 f(ro+h, yo +k)=f(xo, yo)+2(o, yo)h+2(o, yo)k+-(h+k)f(xo, yo)+ +一(h+k)”f(x0,y)+ (n+1)! (h+k)f(x +Oh, yo+Ok (h+k)f(x0,y)+ (h+k)f(xo+Oh, yo +ek) n 14-9《数学分析（1，2，3）》教案 14-9 2 2 2 grad uuu u x y z        = + +                。 注：它是一个向量，是由数量场 f 产生的向量。 3、 gradf 的性质： 设 f , g 可微，则 （1） grad( ) grad grad f g f g + = + ； grad( ) grad cf c f =  （ c 是常数）。 （2） grad( ) grad grad f g f g g f  =  +  ； （3） 2 grad( ) grad grad( ) f f f g f g g  −  = （ g  0 ） （4） ( , , ) grad( ( ( , , )) ( ) grad ( , , ) u f x y z   f x y z u f x y z = =   （ (u) 在 u = f (x, y,z) 可微） 例：设在空间原点处有一个点电荷 q ，在真空中产生一个静电场，在空间任一点 (x, y,z) 处的电位是： r q V = ， 2 2 2 r = x + y + z 则 2 grad grad q V r r = − 。 4、 gradu 的意义 gradu 的方向表示数量场 u 沿此方向的方向导数达到最大； gradu 的根长就是这个最大的方向导数。 例：求数量函数 2 2 u x xy = + 在 (1,1,1) 的梯度及其大小。 §7 泰勒公式 定理 1 设函数 f x y ( , ) 在点 ( x y 0 0 , ) 内对 x 及 y 具有直到 n+1 阶连续偏导数。对 D 内任意一点 (x, y) ， 设 0 0 x = x − x ,y = y − y ，则 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) 2! f f f x h y k f x y x y h x y k h k f x y x y x y     + + = + + + + +      1 0 0 0 0 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ! ( 1)! n n h k f x y h k f x h y k n x y n x y       + + + + + + +   +   1 0 0 0 0 0 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ! ( 1)! n p n p h k f x y h k f x h y k k x y n x y   + =     = + + + + +   +   