《数学分析(1,2,3)》教案 §6方向导数和梯度 方向导数 在许多实际问题中,常常需要知道函数∫(x,y,-)在一点P沿任何方向或某个方向的变化率 定义1设D是R2中的一个区域,f是D内一个函数,P∈D,是一个方向向量,令P→>P,如果 lim f(P)-f(P) 存在,则称此极限是f(x,y=)在点P沿方向的方向导数,记为()。它表示/在点沿方向的变化率 定理1设函数∫在点B可微,则∫在点路沿任何方向1的方向导数存在,并且有 ar o)=(o)cosa+ ar(Po P+e(PS,cosy ay 其中cosa,cosB,cosy是方向的方向余弦 例:设u=x-y2=+e,求u在点(1,0,2)沿方向(2,1,-1)的方向导数 设D是R2中的一个区域,f(x,y)是D内的一个二元可微函数,那么在D内每一点(x,y),f沿单位向量l 的方向导数是 cosa+-sina 其中a是x轴的正向(即x轴上单位向量i)和向量之间的夹角 二梯度 引言 在一个数量场中,在给定点沿不同的方向,其方向导数一般是不相同的,现在我们所关心的是:沿哪 个方向其方向导数最大?其最大值是多少?为此引进一个很重要的概念——梯度。 2、梯度的定义 定义2设u=f(x,y,)定义于某个三维区域D内,又设函数∫具有关于各个多元的连续偏导数,称向量 af(x,ys-i+ x,y, k 是∫在点(x,y,=)的梯度,记为grad,即 8ad=可(x,y,1+9(x,y,2);+(x,y2) 它的长度为 14-8《数学分析（1，2，3）》教案 14-8 §6 方向导数和梯度 一 方向导数 在许多实际问题中，常常需要知道函数 f x y z ( , , ) 在一点 P 沿任何方向或某个方向的变化率。 定义 1 设 D 是 3 R 中的一个区域， f 是 D 内一个函数， P D 0  ，l 是一个方向向量，令 P P '→ ，如果 ' ( ') ( ) lim ' P P f P f P PP → −− − 存在，则称此极限是 f x y z ( , , ) 在点 P0 沿方向 l 的方向导数，记为 ( ) P0 l f   。它表示 f 在点 P0 沿方向 l 的变化率。 定理 1 设函数 f 在点 P0 可微，则 f 在点 P0 沿任何方向 l 的方向导数存在，并且有   cos ( ) cos ( ) cos ( ) ( ) 0 0 0 0 z f P y f P x f P P l f   +   +   =   其中 cos,cos ,cos 是方向 l 的方向余弦。 例：设 x u = xy − y z + ze 2 ，求 u 在点（1，0，2）沿方向（2，1，-1）的方向导数。 设 D 是 2 R 中的一个区域， f (x, y) 是 D 内的一个二元可微函数，那么在 D 内每一点 (x, y) ，f 沿单位向量 l 的方向导数是 cos sin y f x f l f   +   =   ， 其中  是 x 轴的正向（即 x 轴上单位向量 i ）和向量 l 之间的夹角。 二 梯度 1、引言 在一个数量场中，在给定点沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的，现在我们所关心的是：沿哪一 个方向其方向导数最大？其最大值是多少？为此引进一个很重要的概念——梯度。 2、梯度的定义 定义 2 设 u f x y z = ( , , ) 定义于某个三维区域 D 内，又设函数 f 具有关于各个多元的连续偏导数，称向量 f x y z f x y z f x y z ( , , ) ( , , ) ( , , ) i j k x y z    + +    是 f 在点 ( , , ) x y z 的梯度，记为 gradu ，即 ( , , ) ( , , ) ( , , ) grad f x y z f x y z f x y z u i j k x y z    = + +    。 它的长度为