《数学分析(1,2,3)》教案 又设F,G关于x,y,z有连续的偏导数 D(FG D(F,G) y(x) D(x,y) D(F,G DOF.G 例,求两柱面的交线在点M万 的切线方程和法平面方程 §5曲面的切平面与法线 1、设光滑曲面的方程F(xy,=)=0,M(x,为,0)为曲面上一点,过点M的切平面方程为 (Fx)Mn(X-x0)+(Fy)Mn(Y-y)+(F)M(2--0)=0 过点M并与切线平面垂直的直线,称为曲线在点M的法线,方程为 2、若曲面方程为z=f(xy),则曲面过M(x0,y02=)的切平面方称为 )(x-x0)+(=)1,(-y)-(2-0)=0 法线方柱:_三 ar(xoyo) 3、曲面方程由方程组给出: 给出,其中v是参数。则曲面过M0(xy,二0)的切平面方称为 Dxn24(x-+)+( (Y-y)+( a(=,y) o(u d(u,v) 法线方程为:ax一 例:求曲面==x2+y2-1在点(2,1,4)的法向量的方向余弦,并求其法线方程和切平面方程。 例:证明对任何常数,球面x2+y2+2=p2和锥面x2+y2=g2正交。 147《数学分析（1，2，3）》教案 14-7    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 。 又设 F ，G 关于 x y z , , 有连续的偏导数， ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) D F G D z x y x D F G D y z  = ； ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) D F G D x y z x D F G D y z  = 例：求两柱面的交线     + = + = 1 1 2 2 2 2 x z x y 在点 0 111 ( , , ) 222 M 的切线方程和法平面方程。 §5 曲面的切平面与法线 1、设光滑曲面的方程 F(x, y,z) = 0 ， ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 为曲面上一点，过点 M0 的切平面方程为： ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) 0 0 0 0 Fx M X − x + Fy M Y − y + Fz M Z − z = 。 过点 M0 并与切线平面垂直的直线，称为曲线在点 M0 的法线，方程为： 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x M y M Fz M Z z F Y y F X x − = − = − 。 2、若曲面方程为 Z = f (x, y) ，则曲面过 0 0 0 0 M x y z ( , , ) 的切平面方称为 0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x y x y z z X x Y y Z z x y   − + − − − =   法线方程： 1 ( ) ( ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 0 0 0 0 Z z y z Y y x z X x x y x y − =   − − =   − − 。 3、曲面方程由方程组给出： x = x(u,v)， y = y(u,v)， z = z(u,v) 给出，其中 u,v 是参数。则曲面过 0 0 0 0 M x y z ( , , ) 的切平面方称为 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) M M M D y z z x z y X x Y y Z z D u v u v u v   − + − + − =   。 法线方程为： 0 0 0 ) ( , ) ( , ) ) ( ( , ) ( , ) ) ( ( , ) ( , ) ( 0 0 0 M M M u v z y Z z u v z x Y y u v y z X x   − =   − =   − 例：求曲面 1 2 2 z = x + y − 在点（2，1，4）的法向量的方向余弦，并求其法线方程和切平面方程。 例：证明对任何常数 , ，球面 2 2 2 2 x + y + z =  和锥面  2 2 2 x + y = tg 正交