《数学分析(1,2,3)》教案 例:设n=x+y,=x-y,m=xy-=,变换方程+25+=0 §4空间曲线的切线与法平面 本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。 参数方程的情形 设空间曲线l的参数方程为 x(1) y=y(1)(a≤t≤b) 二=z(D) 其中t的参数。又设x',y’,z'都在[a,b]连续,并且对每t∈[a,b],x'(t),y(t),=(t)不全为0,这样的曲线称 为光滑曲线。通过曲线上任一点M6(x2y,=0)的切线定义为割线的极限位置,由此就可写出曲线/在任 点M0(x2,y,二0)的切线方程为 X-xo r-yo Z-= (0)y(0)=(0) 法平面:过点M可以作无穷多条切线与切线垂直,所有这些直线都在同一平面上,称这个平面为曲线/在点 M处的法平面,其方程为 x(t0)(X-x0)+y(t0(Y-y)+2(0Z-二0)=0 例:求螺旋线l:x= a cost,y= asin t,z=ct,(其中a,b,c为常数)在点(a,0,0)的切线方程和法平 面方程。 如果曲线方程由下式表示 则过点M0的切线方程为 X Vo y(x)(x0) 过点M0的法平面方程为 (X-x)+y(x0)(-y)+(x0(Z-=0)=0 空间曲线是用两个曲面的交线表示: 14-6《数学分析（1，2，3）》教案 14-6 例：设 u x y = + ， v x y = − ， w xy z = − ，变换方程 2 2 2 2 2 2 0 z z z x x y y    + + =     。 §4 空间曲线的切线与法平面 本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。 参数方程的情形 设空间曲线 l 的参数方程为 ( ) ( ) ( ) x x t y y t z z t  =   =   = ( ) a t b   其中 t 的参数。又设 x y z    , , 都在 [ , ] a b 连续，并且对每一 t a b x t y t z t [ , ], ( ), ( ), ( )    不全为 0，这样的曲线称 为光滑曲线。通过曲线上任一点 M x y z 0 0 0 0 ( , , ) 的切线定义为割线的极限位置，由此就可写出曲线 l 在任一 点 0 0 0 0 M x y z ( , , ) 的切线方程为： 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) X x Y y Z z x t y t z t − − − = =    。 法平面：过点 M0 可以作无穷多条切线与切线垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个平面为曲线 l 在点 M0 处的法平面，其方程为： 0 0 0 0 0 0 x t X x y t Y y z t Z z    ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 − + − + − = 。 例：求螺旋线 l ： x a t y a t z ct = = = cos , sin , ，（其中 abc , , 为常数）在点（ a ，0，0）的切线方程和法平 面方程。 如果曲线方程由下式表示： y y x = ( )， z z x = ( )。 则过点 M0 的切线方程为 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) X x Y y Z z y x z x − − − = =   ， 过点 M0 的法平面方程为 0 0 0 0 0 ( ) ( )( ) ( )( ) 0 X x y x Y y z x Z z − + − + − =   。 空间曲线 l 是用两个曲面的交线表示：